Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 15

Calcule a integral indefinida

int (x^3 + x)/((x^4 + 2 x^2)^7) d x

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Nosso caso temos que

int (x^3 + x)/((x^4 + 2 x^2)^7) d x

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

int (x^3 + x)/((x^4 + 2 x^2)^7) d x -> int ( x^3 + x ) (x^4 + 2 x^2)^(- 7) d x

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u = x^4 + 2 x^2

d u = 4 x^3 + 4 x d x -> (d u)/(4) = (x^3 + x) d x

int (x^3 + x)/((x^4 + 2 x^2)^7) d x -> int (u^(- 7))/(4) d u

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

int (u^(- 7))/(4) d u -> (1)/(4) * (1)/(- 6) u^(- 6)

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

- (1)/(2 4) (x^4 + 2 x^2)^(- 6)

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

int (x^3 + x)/((x^4 + 2 x^2)^7) d x -> - (1)/(24) (x^4 + 2 x^2)^(- 6) + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

int (x^3 + x)/((x^4 + 2 x^2)^7) d x -> - (1)/(24) (x^4 + 2 x^2)^(- 6) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule à mão as integrais e verifique suas respostas com um CAS, se disponível: ∫ x 2 a x 3 + b 2 d x
Calcule à mão as integrais e verifique suas respostas com um CAS, se disponível. ∫ c o s ⁡ ( 3 x ) 5 + 2 s e n ( 3 x ) d x
Um estudante alega que a definição de ln ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t Oferece um raciocínio circular, pois para calcular o valor da integral precisamos conhecer o valor de l n ⁡ ( x ) . Escreva um parágrafo cu
Escreva um parágrafo curto comparando a Definição 5.10.1 com a definição da função logaritmo natural dada no Capítulo 0. Não esqueça de incluir as questões de continuidade e diferenciabilidade.
Prove: Se f for contínua em um intervalo aberto e a for um ponto qualquer no intervalo, então: F x = ∫ a x f t d t É contínua no intervalo.