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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 17

Ache o comprimento do arco de curva x a 2 3 + y b 2 3 = 1 no primeiro quadrante, do ponto x = 1 8 a ao ponto onde x = a .

Passo 1

Pessoal, para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula. Perceba que precisamos de uma f ( x ) , isso indica que vamos precisar isolar o y na equação do enunciado. Façamos isso então.

x a 2 3 + y b 2 3 = 1   →     y b 2 3 = 1 -   x a 2 3  

y b = 1 -   x a 2 3 3 2   →       f x = b 1 -   x a 2 3 3 2

Ok! Podemos prosseguir.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = b 1 -   x a 2 3 3 2 , então:

f ' x = 3 2 b 1 -   x a 2 3 3 2 - 1 ⋅ 1 -   x a 2 3 ' = 3 2 b 1 -   x a 2 3 1 2 - 2 3 x a 2 3 - 1 ⋅ 1 a

Acima eu usei a regra da cadeia e a derivada 1 -   x a 2 3 ' = - 2 3 x a 2 3 - 1 ⋅ 1 a = - 2 3 a x a - 1 3 . Dessa forma,

f ' x = - 2 3 a ⋅ 3 2 b 1 -   x a 2 3 1 2 x a - 1 3 = - b a 1 -   x a 2 3 1 2 x a - 1 3

Vamos elevar ao quadrado agora.

f ' x 2 = - b a 1 -   x a 2 3 1 2 x a - 1 3 2 = b 2 a 2 1 -   x a 2 3 x a - 2 3

O intervalo de integração será de x = a 8 até x = a .

Sendo assim, o comprimento é dado por:

L = ∫ a 8 a 1 + b 2 a 2 1 -   x a 2 3 x a - 2 3 d x = ∫ a 8 a 1 + b 2 1 -   x a 2 3 a 2 x a 2 3 d x

= ∫ a 8 a a 2 x a 2 3 + b 2 1 -   x a 2 3 a 2 x a 2 3 d x = ∫ a 8 a 1 a ⋅ 1 x a 1 3 a 2 x a 2 3 + b 2 1 -   x a 2 3 d x

Primeiro quadrante implica a > 0 .

L = 1 a ∫ a 8 a x a - 1 3 a 2 x a 2 3 - b 2   x a 2 3 + b 2 d x

L = 1 a ∫ a 8 a x a - 1 3 ( a 2 - b 2 ) x a 2 3 + b 2 d x

Passo 3

Vamos ver o caso em que a = b e depois a ≠ b . Se a = b , então:

L = 1 a ∫ a 8 a x a - 1 3 ( a 2 - a 2 ) x a 2 3 + a 2 d x = 1 a ∫ a 8 a x a - 1 3 a 2 d x = a a ∫ a 8 a x a - 1 3 d x

L = ∫ a 8 a x a - 1 3 d x

Vamos utilizar ∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C       n ≠ - 1 .

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = ∫ a 8 a x a - 1 3 d x = a x a - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 a 8 a = 3 a a a 2 3 2 - 3 a a 8 a 2 3 2 = 3 a 2 - 3 a 1 2 3 2 3 2

= 3 a 2 - 3 a 1 2 3 2 3 2 = 3 a 2 - 3 a 1 2 2 2 = 3 a 2 - 3 a 4 2 = 4 ⋅ 3 a 8 - 3 a 8 = 9 a 8   u . c

Nesse caso, L = 9 a 8   u . c .

Passo 4

Se a ≠ b , então:

1 a ∫ a 8 a x a - 1 3 ( a 2 - b 2 ) x a 2 3 + b 2 d x

E vamos efetuar a substituição u = ( a 2 - b 2 ) x a 2 3 + b 2 , derivando temos:

d u = 2 3 a ( a 2 - b 2 ) x a 2 3 - 1 d x

d u = 2 3 a ( a 2 - b 2 ) x a - 1 3 d x

3 a 2 ( a 2 - b 2 ) d u = x a - 1 3 d x

O lado direito é justamente algo que temos na integral. Vamos trocar os limites de integração.

x = a 8 u = a 2 - b 2 a 8 a 2 3 + b 2 = a 2 - b 2 1 2 3 2 3 + b 2 x = a u = a 2 - b 2 a a 2 3 + b 2 = a 2 - b 2 + b 2 = a 2 = a 2 - b 2 4 + b 2 = a 2 + 3 b 2 4

Dessa forma, a integral na variável u será:

L = 1 a ∫ a 8 a x a - 1 3 ( a 2 - b 2 ) x a 2 3 + b 2 d x = 1 a ∫ a 2 + 3 b 2 4 a 2 u 3 a 2 ( a 2 - b 2 ) d u

= 3 2 ( a 2 - b 2 ) ∫ a 2 + 3 b 2 4 a 2 u 1 2 d u = 3 2 a 2 - b 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 a 2 + 3 b 2 4 a 2 = 3 2 a 2 - b 2 u 1 2 + 1 3 2 a 2 + 3 b 2 4 a 2

= u 3 2 a 2 - b 2 a 2 + 3 b 2 4 a 2 = 1 a 2 - b 2 a 2 3 2 - a 2 + 3 b 2 4 3 2

L = 1 a 2 - b 2 a 3 - a 2 + 3 b 2 3 2 8   u . c

E esse é o resultado procurado.

Resposta

L = 1 a 2 - b 2 a 3 - a 2 + 3 b 2 3 2 8   u . c

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