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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 24

Calcule a integral indefinida

int ((x^3 + 2)/(x ³)) sqrt(x - (1)/(x^2)) d x

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Nosso caso temos que

int ((x^3 + 2)/(x ³)) sqrt(x - (1)/(x^2)) d x

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

int ((x^3 + 2)/(x ³)) sqrt(x - (1)/(x^2)) d x -> int ((x^3 + 2)/(x ³)) (x - (1)/(x^2))^(1 // 2) d x

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u = x - (1)/(x^2)

d u = 1 + (2)/(x^3) d x -> d u = (x^3 + 2)/(x ³) d x

Então saca só como fica a substituição

int ((x^3 + 2)/(x ³)) (x - (1)/(x^2))^(1 // 2) d x -> int (u)^(1 // 2) d u

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

int (u)^((1)/(2)) d u -> ((2)/(3) u^((3)/(2)))

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

(2)/(3) (x - (1)/(x^2))^((3)/(2))

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

int ((x^3 + 2)/(x ³)) (x - (1)/(x^2))^(1 // 2) d x -> (2)/(3) (x - (1)/(x^2))^((3)/(2)) + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

int ((x^3 + 2)/(x ³)) (x - (1)/(x^2))^(1 // 2) d x -> (2)/(3) (x - (1)/(x^2))^((3)/(2)) + C

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