(a) Use derivada para provar que a função é constante no intervalo ( 0 ,   + ∞ ) .

F x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t + ∫ 0 1 / x 1 1 + t 2 d t

(b) Determine o valor constante da função na parte (a) e, então, interprete (a) como uma identidade envolvendo a função arco tangente.

Passo 1

Para o item (a), usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

F ' ( x ) = 1 1 + x 2 + 1 1 + 1 x 2 - 1 x 2 = 0

Portanto, F é constante no intervalo ( 0 ,   + ∞ ) .

Passo 2

Calculando o valor da constante temos C = π 2 , assim, desenvolvendo junto a função arco tangente, temos

x + arctan ⁡ 1 x = π 2

Prontinho!!

Resposta

π 2

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