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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 16

Calcule a integral indefinida

int (x^3 + x) (sqrt(x^2 + 3)) d x

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Nosso caso temos que

int (x^3 + x) (sqrt(x^2 + 3)) d x

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

int (x^3 + x) (sqrt(x^2 + 3)) d x -> int (x^3 + x) (x^2 + 3)^(1 // 2) d x

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u = x^2 + 3

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = (x) d x

Outra coisa legal

x^3 + x -> x (x^2 + 1)

A parte

x^2 + 1 = u - 2

Então saca só como fica a substituição

int (x^3 + x) (x^2 + 3)^(1 // 2) d x -> int (1)/(2) ( u - 2 ) (u)^(1 // 2) d u

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

int (1)/(2) (u - 2) (u)^((1)/(2)) d u -> (1)/(2) int u (u)^((1)/(2)) - 2 (u)^((1)/(2)) d u = (1)/(2) ((2)/(5) u^((5)/(2)) - (4)/(3) u^((3)/(2)))

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

(1)/(5) (x^2 + 3)^((5)/(2)) - (2)/(3) (x^2 + 3)^((3)/(2))

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

int (x^3 + x) (sqrt(x^2 + 3)) d x -> (1)/(5) (x^2 + 3)^((5)/(2)) - (2)/(3) (x^2 + 3)^((3)/(2)) + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

int (x^3 + x) (sqrt(x^2 + 3)) d x -> (1)/(5) (x^2 + 3)^((5)/(2)) - (2)/(3) (x^2 + 3)^((3)/(2)) + C

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Ache a integral indefinida geral. ∫ sec ⁡ t sec ⁡ t - tg ⁡ t d t
Ache a integral indefinida geral. 11 . ∫ x 3 - 2 x x d x
Ache a integral indefinida geral.15 . int (theta - csc theta cot theta) d theta
Ache a integral indefinida geral ∫ c o s s e c 2 t - 2 e t . d t
Ache a integral indefinida geral.12 . int (x^2 + 1 + (1)/(x^2 + 1)) d x