Calcule a integral indefinida.

∫ 1 x ln ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ 1 x ln ⁡ x d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Perceba que na forma como está a função da integral não vamos saber calcular essa integral.

Então para facilitar nossa vida podemos usar o método de substituição.

Esse método consiste em fazer uma mudança de variáveis do tipo:

∫ f x d x → ∫ g u d u

A ideia é substituir parte de f x para chamar de u e derivar u em relação a x para obter d u e montar nossa integral.

Encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Veja só!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = 1 x ln ⁡ x

Assim, podemos chamar ln ⁡ x de u .

u = ln ⁡ x

E derivando u em relação a x pelo teorema fundamental.

d u d x = 1 x

Isolando d x em um lado da igualdade.

d x = x d u

Agora temos que substituir ln ⁡ x e d x na integral.

∫ 1 x ln ⁡ x d x → ∫ 1 x u x d u

Simplificando x ...

∫ 1 u d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Percebeu que a gente conseguiu transformar aquela integral extremamente dificil em uma integral mais simples?

Para resolvê-la temos que lembrar do TFC.

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Assim, nossa integral fica:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que voltar para ln ⁡ x .

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ln ⁡ ln ⁡ x + C

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ln ⁡ ln ⁡ x + C

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