1. Comparando áreas, mostre que
  2. 1/3 < ln(1,5) < 5/12

  3. Use a regra do ponto médio n = 10 para estimar ln(1,5)

Passo 1

Galera, questão devemos comparar áreas para mostrar que

1 3 < ln ⁡ 1,5 < 5 12

E depois vamos usar a regra do ponto médio com n = 10 subintervalos para estimar o valor de ln ⁡ 1,5 .

Como temos um logaritmo natural e sabemos que o l n é a integral da função 1 / x , vamos usar essa função para encontrar nossas áreas.

Podemos interpretar o 1 3 como sendo a área sob a curva dada por y = 1 x com o x variando de 1 até 1,5 .

Essa área é nada mais nada menos que a área de um retângulo de dimensões 1 2   e 2 3 , assim, sua área será dada por

1 2 ⋅ 2 3 = 1 3

Tomando um outro ponto sob a curva teremos, agora, no total um trapézio cuja área é dada por

1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 2 3 = 5 12

Portanto, comparando áreas verificamos que

1 3 < ln ⁡ 1,5 < 5 12

Passo 2

Utilizando a regra exigida pelo enunciado e tomando f t = 1 t , n = 10 .

Teremos que o espaçamento dos subintervalos será de:

Δ x = b - a n

Δ x = 1,5 - 1 10

Δ x = 0,05

Sendo assim, a regra do ponto médio fica:

ln ⁡ 1.5 = ∫ 1 1,5 1 t d t ≈ Δ x ∑ f x i -

≈ 0,05 ⋅ [ f 1,025 + f 1,075 + f 1,125 + … + f ( 1,745 ) ]

Esses valores para a nossa função nos referidos pontos podem ser calculados utilizando uma calculadora. Dessa forma, obteremos

ln ⁡ 1,5 ≈ 0,4054

Resposta

a Demonstração

b ln ⁡ 1,5 ≈   0,4054

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função J 0 definida por J 0 x = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ xs e n t d t é chamada de função de Bessel de ordem zero. (a) Encontre uma função f e um intervalo [ a ,b ] para o qual J 0 ( 1 ) seja o valor médio d
Se uma xícara de café tem uma temperatura de 95 °C em uma sala cuja temperatura ambiente é de 20 °C , de acordo com a lei do resfriamento de Newton, a tempertatura do café após t minutos será T(t) = 2
Encontre o valor médio da função no intervalo dado.h(x) = cos^4(x) . sen x, [0, pi]
Encontre os valores de b tais que o valor médio de f(x) = 2 + 6x - 3x² ² no intervalo [0, b] é igual a 3 .
Encontre o valor médio de f em [0,8] .