Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.6 - Ex. 1
- Comparando áreas, mostre que
- Use a regra do ponto médio para estimar
Passo 1
Galera, questão devemos comparar áreas para mostrar que
E depois vamos usar a regra do ponto médio com subintervalos para estimar o valor de .
Como temos um logaritmo natural e sabemos que o é a integral da função , vamos usar essa função para encontrar nossas áreas.
Podemos interpretar o como sendo a área sob a curva dada por com o variando de até .
Essa área é nada mais nada menos que a área de um retângulo de dimensões , assim, sua área será dada por
Tomando um outro ponto sob a curva teremos, agora, no total um trapézio cuja área é dada por
Portanto, comparando áreas verificamos que
Passo 2
Utilizando a regra exigida pelo enunciado e tomando , .
Teremos que o espaçamento dos subintervalos será de:
Sendo assim, a regra do ponto médio fica:
Esses valores para a nossa função nos referidos pontos podem ser calculados utilizando uma calculadora. Dessa forma, obteremos
Resposta
Demonstração