Calcule a integral indefinida.

∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x , podemos então usar a mudança de variável:

u = tg - 1 ⁡ x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral!

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 1 + x 2   d x

Percebeu a sacada?! A derivada da tg - 1 ⁡ x aparece dentro da integral. Então quando substituímos ela vai ser cancelada!

Vamos agora fazer a substuição:

∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x = ∫ u   d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u   d u = u 1 + 1 1 + 1 = u 2 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = tg - 1 ⁡ x :

∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x = ∫ u   d u = u 2 2 + C = tg - 1 ⁡ x 2 2 + C

Resposta

∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x = tg - 1 ⁡ x 2 2 + C

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