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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 36

Calcule a integral

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^3 ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot^2 ( x ) + 1 = csc^2 ( x ) .

Então, substituindo

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^3 ( x ) d x = int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) cot^2 ( x ) d x = int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) ( csc^2 (x) - 1 ) d x = int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) csc^2 ( x ) d x - int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral.

Calculando a primeira pelo método da substituição

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) csc^2 ( x ) d x

Seja u = cot (x) , temos que d u = - csc^2 ( x ) d x . Vamos também calcular os novos limites de integração, pra não precisarmos retornar pra variável x , então

u_i n f e r i o r = cot ((pi)/(4)) = 1

u_s u p e r i o r = cot ((pi)/(2)) = 0

- int_1^0 u d u = - [(1)/(2) u^2]_1^0 = - 0 + (1)/(2) = (1)/(2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda integral, para isso, vamos reescrevê-la

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) c o t ( x ) d x = int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (cos (x))/(sin (x)) d x

Pelo método da substituição

Seja u = sin (x) , temos que d u = cos (x) d x . Vamos também calcular os novos limites de integração, pra não precisarmos retornar pra variável x , então

u_i n f e r i o r = sin ((pi)/(4)) = (sqrt(2))/(2)

u_s u p e r i o r = sin ((pi)/(2)) = 1

int_((sqrt(2))/(2))^1 (cos (x))/(sin (x)) d x = int_((sqrt(2))/(2))^1 (1)/(u) d u = ln |u| = ln |1| - ln |(sqrt(2))/(2)| = - l n |(sqrt(2))/(2)| = - ln (sqrt(2)) - ( - ln (2) ) = - ln (2^((1)/(2))) + ln (2) = - (1)/(2) ln (2) + ln (2) = (1)/(2) ln (2)

Passo 4

Agora que calculamos cada uma separadamente, podemos calcular a integral

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) csc^2 ( x ) d x - int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot (x) d x = (1)/(2) - (1)/(2) ln (2) = (1)/(2) [1 - ln (2)]

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^3 ( x ) d x = (1)/(2) [1 - ln (2)]

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 40 para ∫ tan ⁡ x sec n ⁡ x d x ,s en ≠ 0 .
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Prove ∫ tan n ⁡ x d x = tan n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tan n - 2 ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Prove: ∫ c o s n u d u = 1 n c o s n - 1 us e n u + n - 1 n ∫ c o s n - 2 u d u