Calcule a integral indefinida.

∫ sen ⁡ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você??

Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x x d x

Perceba que essa não é uma integração direta, já que temos uma função dentro da outra e uma divisão delas por x .

Quando isso acontecer, podemos verificar se é possível usar a regra da Substituição Simples. Para isso, vemos se ao derivarmos uma das funções, encontraremos algo semelhante ao que temos na outra função.

E é exatemente o que acontecerá aqui. Sendo assim, fazermos uma mudança de vari��veis.

Mas fica tranquilo que vou te mostrar tudinho no passo a passo. Só vem comigo.

Passo 2

Queremos resolver a integral

∫ sen ⁡ ln ⁡ x x d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa.

Vaamos começar fazendo uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral. Vemos que temos um ln ⁡ x e uma função com 1 x , podemos então usar a mudança de variável dizendo que:

u = ln ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 x   d x

Vamos agora fazer a substuição:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x x d x = ∫ sen ⁡ u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Então, vamos encontrar as primitivas da função, lembrando que:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sen ⁡ u d u = - cos ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi

u = ln ⁡ x

∫ sen ⁡ u d u = - cos ⁡ u + C

Então:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x x d x = - cos ⁡ ln ⁡ x + C

E prontinho. Integral resolvida com sucesso.

Resposta

∫ sen ⁡ ln ⁡ x x d x = - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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