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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 53

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico um integrando e sua primitiva (tome c = 0 ).

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 6 x d x

Passo 1

Calma jovem, vamos calcular essa integral de um jeito que você vai entender, vamos lá? Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin ⁡ A sin ⁡ B = 1 2 cos ⁡ A - B - cos ⁡ A + B

Substituindo

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 6 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 x - 6 x - cos ⁡ 3 x + 6 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 9 x d x = 1 2 1 3 sin ⁡ 3 x - 1 9 sin ⁡ 9 x + c = 1 6 sin ⁡ 3 x - 1 18 sin ⁡ 9 x + c

Passo 2

Esboçando os gráficos, ficamos com ( f → p r e t o ,     F → c i n z a )

Observe que f ( x ) = 0 sempre que F tem uma tangente horizontal.

Resposta

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 6 x d x = 1 6 sin ⁡ 3 x - 1 18 sin ⁡ 9 x + c

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