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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 50

Se

int_0^((pi)/(4)) tan^6 ( x ) sec (x) d x = I

Expresse o valor de

int_0^((pi)/(4)) tan^8 (x) sec (x) d x

Em termo de I

Passo 1

Não fica apavorado pensando que não consegue resolver isso nem se Newton descer e te ensinar, vamos te ajudar nisso. Vamos resolver a integral int tan^8 (x) s e c ( x ) d x pelo método de integração por partes (vamos calcular primeiro sem os limites de integração para depois aplica-los

int tan^8 ( x ) sec (x) d x

Seja u = tan^7 ( x ) , temos que d u = 7 tan^6 ( x ) sec^2 ( x ) d x

Seja d v = tan (x) sec (x) d x , temos que v = sec (x)

Então

int tan^8 ( x ) sec (x) d x = tan^7 ( x ) sec (x) - 7 int tan^6 ( x ) sec^2 ( x ) sec (x) d x

Vamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec^2 ( x ) = tan^2 ( x ) + 1 . Então, substituindo

int tan^8 (x) sec (x) d x = tan^7 (x) sec (x) - 7 int tan^6 (x) sec^2 (x) sec (x) d x = tan^7 (x) sec (x) - 7 int tan^6 (x) (tan^2 (x) + 1) sec (x) d x = tan^7 (x) sec (x) - 7 int (tan^8 (x) sec (x) + tan^6 (x) sec (x)) d x

Separando a integral em duas, ficamos com

int tan^8 (x) sec (x) d x = tan^7 (x) sec (x) - 7 int tan^8 (x) sec (x) d x - 7 int tan^6 (x) sec (x) d x

8 int tan^8 (x) sec (x) d x = tan^7 (x) sec (x) - 7 int tan^6 (x) sec (x) d x

int tan^8 (x) sec (x) d x = (tan^7 (x) sec (x))/(8) - (7)/(8) int tan^6 (x) sec (x) d x

Passo 2

Agora que calculamos sem os limites de integração, só falta adicionarmos os limites, daí ficamos com

int_0^((pi)/(4)) tan^8 ( x ) sec (x) d x = [(tan^7 (x) sec (x))/(8)]_0^((pi)/(4)) - (7)/(8) int_0^((pi)/(4)) tan^6 (x) sec (x) d x = (sqrt(2))/(8) - (7)/(8) I = (sqrt(2) - 7 I)/(8)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) tan^8 (x) sec (x) d x = (sqrt(2) - 7 I)/(8)

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