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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 44

Calcule a integral

int (cos (x) + sin (x))/(sin (2 x)) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sin (2 x) = ( 1 // 2 ) sin (x) cos (x) . Então, substituindo

int (cos (x) + sin (x))/(sin (2 x)) d x = (1)/(2) int (cos (x) + sin (x))/(sin (x) cos (x)) d x

Agora, vamos separar em duas frações

(1)/(2) int (cos (x) + sin (x))/(sin (x) cos (x)) d x = (1)/(2) int ((cos (x))/(sin (x) cos (x)) + (sin (x))/(sin (x) cos (x))) d x = (1)/(2) int ((1)/(sin (x)) + (1)/(cos (x))) d x = (1)/(2) int (csc (x) + sec (x)) d x

Podemos separa esta integral em duas da seguinte forma

(1)/(2) int (csc (x) + sec (x)) d x = (1)/(2) [int csc (x) d x + int sec (x) d x]

Passo 2

Vamos calcular cada integral separadamente.

Calculando a primeira

int csc (x) d x

Vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar toda a integral pelo fator

(csc (x) - cot (x))/(csc (x) - cot (x))

Daí, ficamos com

int (csc (x) (csc (x) - cot (x)))/(csc (x) - cot (x)) d x = int (- csc (x) cot (x) + csc^2 (x))/(csc (x) - cot (x)) d x

Agora, podemos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc (x) - cot (x) , temos que d u = - csc (x) cot (x) - (- csc^2 (x)) . Substituindo

int (- csc (x) cot (x) + csc^2 (x))/(csc (x) - cot (x)) d x = int (d u)/(u) = ln |u| + c_1 = ln |csc (x) - cot (x)| + c_1

Passo 3

Vamos calcular a segunda integral agora

int sec (x) d x

Esta integral é tabelada, portanto

int sec (x) d x = ln |sec (x) + tan (x)| + c_2

Passo 4

Agora, podemos substituir o que encontramos

(1)/(2) [int csc (x) d x + int sec (x) d x] = (1)/(2) [ln |csc (x) - cot (x)| + c_1 + ln |sec (x) + tan (x)| + c_2] = (1)/(2) [ln |csc (x) - cot (x)| + ln |sec (x) + tan (x)|] + k

Note que uma constante somada com outra constante resulta em uma outra constante, a qual chamei de k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int (cos (x) + sin (x))/(sin (2 x)) d x = (1)/(2) [ln |csc (x) - cot (x)| + ln |sec (x) + tan (x)|] + k

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