Calcule a integral.

∫ x 2 + 1 x - 1 d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x 2 + 1 = x - 1 x + 1 + 2 → x 2 + 1 x - 1 = x - 1 x + 1 x - 1 + 2 x - 1 →

→ x 2 + 1 x - 1 = x + 1 + 2 x - 1

Temos então que a integral fica:

∫ x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ x + 1 + 2 x - 1 d x = ∫ x d x + ∫ 1 d x + ∫ 2 x - 1 d x =

= ∫ x d x + ∫ 1 d x + 2 ∫ 1 x - 1 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 + C = x 2 2 + C

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

∫ 1 d u = x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 ∫ 1 x - 1 d x = 2 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

2 ∫ 1 v d v =   2 ln ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ x d x + ∫ 1 d x + 2 ∫ 1 x - 1 d x = x 2 2 + x +   2 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 + 1 x - 1 d x = x 2 2 + x +   2 ln ⁡ v + C = x 2 2 + x +   2 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ x 2 + 1 x - 1 d x = x 2 2 + x +   2 ln ⁡ x - 1 + C

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