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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 12

Calcule a integral

int_0^1 (x - 4)/(x^2 - 5 x + 6) d x

Passo 1

Primeiramente, vamos fatorar a expressão abaixo.

(x - 4)/(x^2 - 5 x + 6)

Resolvendo a equação do segundo grau no denominador:

x^2 - 5 x + 6 = 0

Então,

x = (+ 5 +- sqrt((- 5)^2 - 4 * 6 * 1))/(2 * 1)

Portanto,

x = + 2 ou x = + 3

Fatorando, temos:

x^2 + 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 )

Passo 2

Voltando para nossa expressão:

(x - 4)/(x^2 + 5 x + 6) = (x - 4)/(( x - 2 ) ( x - 3 ))

Agora vamos separar em frações parciais. Vem comigo!

(x - 4)/((x - 2) (x - 3)) = (A)/(x - 2) + (B)/(x - 3)

Logo,

(x - 4)/((x - 2) (x - 3)) = (A (x - 3) + B (x - 2))/((x - 2) (x - 3))

Isto é,

(x - 4)/((x - 2) (x - 3)) = (x (A + B) - ( 3 A + 2 B ))/((x - 2) (x - 3))

Comparando os coeficientes dos denominadores:

{[[A + B = 1],[3 A + 2 B = 4]])

Resolvendo o sistema, temos:

A = + 2 e B = - 1

Passo 3

Agora vamos voltar para nossa integral!

I = int_0^1 (x - 4)/((x - 2) (x - 3)) d x = int_0^1 ((2)/(x - 2) - (1)/(x - 3)) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Então as coisas vão ficar assim ó:

I = (2 * ln |x - 2| - 1 ln |x - 3|) |_0^1

Aplicando entre os ponto 0 e 1 :

I = (2 * ln |- 1| - 1 ln |- 2|) - (2 * ln |- 2| - 1 ln |- 3|)

I = - 3 ln |- 2| + 1 ln |- 3|

I = - 3 ln (2) + 1 ln (3)

Resposta

I = - 3 ln (2) + 1 ln (3)

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