Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 - 1 x 2   d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = sec ⁡ θ

d x = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 2 - 1 x 2   d x = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec 2 ⁡ θ     sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec 2 ⁡ θ     sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ     sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ     sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ =

= ∫ tg 2 ⁡ θ sec ⁡ θ     d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ     d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ     d θ + ∫ - 1 sec ⁡ θ     d θ =

= ∫ sec ⁡ θ   d θ + ∫ - 1 sec ⁡ θ     d θ = ∫ sec ⁡ θ   d θ + ∫ - 1 1 cos ⁡ θ     d θ = ∫ sec ⁡ θ   d θ - ∫ cos ⁡ θ   d θ

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ θ   d θ - ∫ cos ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ - sen ⁡ θ + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = x , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg ⁡ θ e sen ⁡ θ :

Assim os valores de tg ⁡ θ e sen ⁡ θ são:

sen ⁡ θ = x 2 - 1 x

tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ = x 2 - 1 x 1 x = x 2 - 1 x ⋅ x = x 2 - 1

Pronto, ficamos então com:

∫ x 2 - 1 x 2   d x = ∫ sec ⁡ θ   d θ - ∫ cos ⁡ θ   d θ = ln ⁡ x + x 2 - 1 - x 2 - 1 x + C

Resposta

∫ x 2 - 1 x 2   d x = ln ⁡ x + x 2 - 1 - x 2 - 1 x + C

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