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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 58

Calcule a integral indefinida:

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^2) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 - a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = sec theta

d x = sec theta tg theta d theta

Substituindo temos:

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^2) d x = int (sqrt(sec^2 theta - 1))/(sec^2 theta) sec theta tg theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (sqrt(sec^2 theta - 1))/(sec^2 theta) sec theta tg theta d theta = int (sqrt(tg^2 theta))/(sec^2 theta) sec theta tg theta d theta = int (tg theta)/(sec^2 theta) sec theta tg theta d theta =

= int (tg^2 theta)/(sec theta) d theta = int (sec^2 theta - 1)/(sec theta) d theta = int (sec^2 theta)/(sec theta) d theta + int (- 1)/(sec theta) d theta =

= int sec theta d theta + int (- 1)/(sec theta) d theta = int sec theta d theta + int (- 1)/((1)/(cos theta)) d theta = int sec theta d theta - int cos theta d theta

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

int sec theta d theta - int cos theta d theta = ln |sec theta + tg theta| - sen theta + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = sec theta , ou seja, sec theta = x , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg theta e sen theta :

Assim os valores de tg theta e sen theta são:

sen theta = (sqrt(x^2 - 1))/(x)

tg theta = (sen theta)/(cos theta) = ((sqrt(x^2 - 1))/(x))/((1)/(x)) = (sqrt(x^2 - 1))/(x) * x = sqrt(x^2 - 1)

Pronto, ficamos então com:

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^2) d x = int sec theta d theta - int cos theta d theta = ln |x + sqrt(x^2 - 1)| - (sqrt(x^2 - 1))/(x) + C

Resposta

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^2) d x = ln |x + sqrt(x^2 - 1)| - (sqrt(x^2 - 1))/(x) + C

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