Calcule a integral indefinida:

∫ t 5 t 2 + 16   d t

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

t = 4 tg ⁡ θ

d t = 4 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ t 5 t 2 + 16   d t = ∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ 16 tg 2 ⁡ θ + 16   4 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ 16 tg 2 ⁡ θ + 1   4 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ 16 tg 2 ⁡ θ + 1   4 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ 16 sec 2 ⁡ θ   4 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ 4 sec ⁡ θ   4 sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Vamos fazer algumas manipulações aqui para usar a identidade novamente:

∫ 4 5 tg 5 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ 4 5 tg 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ =

= ∫ 4 5 sec 2 ⁡ θ - 1 sec 2 ⁡ θ - 1 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = 4 5 ∫ sec 4 ⁡ θ - 2 sec 2 ⁡ θ + 1 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ =

= 4 5 ∫ sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ + ∫ - 2 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ + ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ =

= 4 5 ∫ sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ - 2 ∫ sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ + ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular essas integrais vamos usar substituição, na primeira vamos ter:

u = se c ⁡ θ

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

∫ sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ u 4 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ u 4 d u = u 4 + 1 4 + 1 + C = u 5 5 + C

Passo 3

Na segunda vamos usar:

u = sec ⁡ θ

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

∫ sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ u 2 d u = u 2 + 1 2 + 1 + C = u 3 3 + C

Passo 4

E por último, na terceira vamos ter:

u = sec ⁡ θ

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Aplicando:

∫ d u = u + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ t 5 t 2 + 16   d t = 4 5 ∫ sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ - 2 ∫ sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ + ∫ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ =

= 4 5 u 5 5 - 2 u 3 3 + u + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original t :

∫ t 5 t 2 + 16   d t = 4 5 u 5 5 - 2 u 3 3 + u + C = 4 5 sec 5 ⁡ θ 5 - 2 sec 3 ⁡ θ 3 + sec ⁡ θ + C

Temos que t = 4 tg ⁡ θ , ou seja, tg ⁡ θ = t 4 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec ⁡ θ :

Assim o valor de sec ⁡ θ é:

se c ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 4 t 2 + 16 = t 2 + 16 4

Pronto, ficamos então com:

∫ t 5 t 2 + 16   d t = 4 5 sec 5 ⁡ θ 5 - 2 sec 3 ⁡ θ 3 + sec ⁡ θ + C =

= 4 5 1 5 t 2 + 16 4 5 - 2 3 t 2 + 16 4 3 + t 2 + 16 4 + C =

= 1 5 t 2 + 16 2 t 2 + 16 - 32 3 t 2 + 16 t 2 + 16 + 256 t 2 + 16 + C

Resposta

∫ t 5 t 2 + 16   d t = 1 5 t 2 + 16 2 t 2 + 16 - 32 3 t 2 + 16 t 2 + 16 + 256 t 2 + 16 + C

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