Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 48

Calcule a integral indefinida:

int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 2 t

d u = 2 d t

Substituindo temos:

int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t = int ((1 - u^2)^((3)/(2)))/(2) d u = (1)/(2) int (1 - u^2) (1 - u^2)^((1)/(2)) d u = (1)/(2) int (1 - u^2) sqrt(1 - u^2) d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

u = 1 sen theta -> u = sen theta -> theta = arcsen u

d u = cos theta d theta

Substituindo temos:

int (1 - u^2) sqrt(1 - u^2) d u = int (1 - sen^2 theta) sqrt(1 - sen^2 theta) cos theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (1 - sen^2 theta) sqrt(1 - sen^2 theta) cos theta d theta = int cos^2 theta sqrt(cos^2 theta) cos theta d theta = int cos^3 theta cos theta d theta =

= int cos^4 theta d theta

Passo 3

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int cos^n u d u = (1)/(n) cos^(n - 1) u sen u + (n - 1)/(n) int cos^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^(4 - 1) theta sen theta + (4 - 1)/(4) int cos^(4 - 2) theta d theta

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) int cos^2 theta d theta

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) int (1)/(2) + (1)/(2) cos 2 theta d theta

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) (int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta)

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta = (1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t = (1)/(2) int (1 - u^2) sqrt(1 - u^2) d u = (1)/(2) int cos^4 theta d theta =

= (1)/(2) ((1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) (int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta)) =

= (1)/(2) ((1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) ((1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta)) = (1)/(8) cos^3 theta sen theta + (3 theta)/(16) + (3)/(32) sen 2 theta + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original t , temos que u = sen theta , ou seja, sen theta = u , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos theta :

Assim o valor de cos theta é:

cos theta = (sqrt(1 - u^2))/(1) = sqrt(1 - u^2)

Pronto, ficamos então com:

int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t = (1)/(8) cos^3 theta sen theta + (3 theta)/(16) + (3)/(32) sen 2 theta + C =

= (1)/(8) (sqrt(1 - u^2))^3 u + (3 arcsen u)/(16) + (3)/(32) 2 sen theta cos theta + C =

= (1)/(8) (sqrt(1 - u^2))^3 u + (3 arcsen u)/(16) + (3)/(16) u sqrt(1 - u^2) + C =

= (1)/(8) (sqrt(1 - 4 t^2))^3 2 t + (3 arcsen 2 t)/(16) + (3)/(16) 2 t sqrt(1 - 4 t^2) + C =

= (t)/(4) (sqrt(1 - 4 t^2))^3 + (3 arcsen 2 t)/(16) + (3 t)/(8) sqrt(1 - 4 t^2) + C

Resposta

int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t = (t)/(4) (sqrt(1 - 4 t^2))^3 + (3 arcsen 2 t)/(16) + (3 t)/(8) sqrt(1 - 4 t^2) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

27-30. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.30. A área envolvida pela elipse x 2 + 4 y 2 = 1 é π 2 .
Encontre o comprimento da curva y = x 2 de x = 0ax = 1 .
37-48. Calcule a integral.43. ∫ 3 - 2 x - x 2 d x
37-48. Calcule a integral.47. ∫ 1 2 d x 4 x - x 2
1-26. Calcule a integral.26. ∫ 0 3 x 3 3 + x 2 5 2 d x