Calcule a integral indefinida:int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t

int (1 - 4 t^2)^((3)/(2)) d t = (t)/(4) (sqrt(1 - 4 t^2))^3 + (3 arcsen 2 t)/(16) + (3 t)/(8) sqrt(1 - 4 t^2) + C

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 48

Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

Substituindo temos:

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma , nesse formato de expressão vamos fazer e utilizar a identidade trigonométrica :

Substituindo temos:

Agora usando a identidade trigonométrica:

Passo 3

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

Aplicando vamos ter:

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar:

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original , temos que , ou seja, , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar :