Calcule a integral indefinida:

∫ 1 - 4 t 2 3 2 d t

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 2 t

d u = 2 d t

Substituindo temos:

∫ 1 - 4 t 2 3 2 d t = ∫ 1 - u 2 3 2 2 d u = 1 2 ∫ 1 - u 2 1 - u 2 1 2 d u = 1 2 ∫ 1 - u 2 1 - u 2 d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u = 1 sen ⁡ θ → u = sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ u

d u = cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 1 - u 2 1 - u 2 d u = ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 1 - sen 2 ⁡ θ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ =

= ∫ cos 4 ⁡ θ d θ

Passo 3

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 4 - 1 ⁡ θ sen ⁡ θ + 4 - 1 4 ∫ cos 4 - 2 ⁡ θ d θ

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ 1 - 4 t 2 3 2 d t = 1 2 ∫ 1 - u 2 1 - u 2 d u = 1 2 ∫ cos 4 ⁡ θ d θ =

= 1 2 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ =

= 1 2 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ = 1 8 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 θ 16 + 3 32 sen ⁡ 2 θ + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original t , temos que u = sen ⁡ θ , ou seja, sen ⁡ θ = u , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos ⁡ θ :

Assim o valor de cos ⁡ θ é:

cos ⁡ θ = 1 - u 2 1 = 1 - u 2

Pronto, ficamos então com:

∫ 1 - 4 t 2 3 2 d t = 1 8 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 θ 16 + 3 32 sen ⁡ 2 θ + C =

= 1 8 1 - u 2 3 u + 3 arcsen ⁡ u 16 + 3 32 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C =

= 1 8 1 - u 2 3 u + 3 arcsen ⁡ u 16 + 3 16 u 1 - u 2 + C =

= 1 8 1 - 4 t 2 3 2 t + 3 arcsen ⁡ 2 t 16 + 3 16 2 t 1 - 4 t 2 + C =

= t 4 1 - 4 t 2 3 + 3 arcsen ⁡ 2 t 16 + 3 t 8 1 - 4 t 2 + C

Resposta

∫ 1 - 4 t 2 3 2 d t = t 4 1 - 4 t 2 3 + 3 arcsen ⁡ 2 t 16 + 3 t 8 1 - 4 t 2 + C

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