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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 44

Calcular a área entre as curvas y = sen^2 x e y = cos^2 x , de (pi)/(4) até (3 pi)/(4) .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar as curvas y = sen^2 x e y = cos^2 x , onde a curva verde é y = sen^2 x e a vermelha y = cos^2 x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de (pi)/(4) até (3 pi)/(4) , e temos que y = s en^2 x é a função de cima, e y = cos^2 x é a função de baixo, vamos substituir:

A = int_a^b (f_c i m a - f_b a i x o) d x = int_0^(pi) sen^2 x - cos^2 x d x

Vamos usar as identidades para calcular a integral:

sen^2 x = (1)/(2) - (cos (2 x))/(2)

cos^2 x = (1)/(2) + (cos (2 x))/(2)

Assim:

A = int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) sen x - cos^2 x d x = int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) (1)/(2) - (cos (2 x))/(2) - ((1)/(2) + (cos (2 x))/(2)) d x =

= int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) (1)/(2) - (cos (2 x))/(2) - (1)/(2) - (cos (2 x))/(2) d x = int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) - (cos (2 x))/(2) - (cos (2 x))/(2) d x =

= int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) - cos (2 x) d x = (- (sen (2 x))/(2))_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) = - (sen (2 * (3 pi)/(4)))/(2) - (- (sen (2 * (pi)/(4)))/(2)) =

= - (sen ((3 pi)/(2)))/(2) - (- (sen ((pi)/(2)))/(2)) = - (- 1)/(2) - (- (1)/(2)) = (1)/(2) + (1)/(2) = (2)/(2) = 1

Resposta

A = 1

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