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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 45

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 5))

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 - a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = sqrt(5) sec theta

d x = sqrt(5) sec theta tg theta d theta

Substituindo temos:

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 5)) = int (1)/(5 sec^2 theta sqrt(5 sec^2 theta - 5)) sqrt(5) sec theta tg theta d theta = int (sqrt(5) sec theta tg theta)/(5 sec^2 theta sqrt(5 (sec^2 theta - 1))) d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (sqrt(5) sec theta tg theta)/(5 sec^2 theta sqrt(5 (sec^2 theta - 1))) d theta = int (sqrt(5) sec theta tg theta)/(5 sec^2 theta sqrt(5 tg^2 theta)) d theta = int (sqrt(5) sec theta tg theta)/(5 sec^2 theta tg theta sqrt(5)) d theta =

= int (1)/(5 sec theta) d theta

Passo 2

Agora vamos colocar tudo em termos de seno e/ou cosseno:

int (1)/(5 sec theta) d theta int (1)/(5 * (1)/(cos theta)) d theta = int (cos theta)/(5) d theta = (1)/(5) int cos theta d theta

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

(1)/(5) int cos theta d theta = (1)/(5) sen theta + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = sqrt(5) sec theta , ou seja, sec theta = (x)/(sqrt(5)) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sen theta :

Assim o valor de sen theta é:

sen theta = (sqrt(x^2 - 5))/(x)

Pronto, ficamos então com:

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 5)) = (1)/(5) int cos theta d theta = (1)/(5) sen theta + C = (1)/(5) * (sqrt(x^2 - 5))/(x) + C = (sqrt(x^2 - 5))/(5 x) + C

Resposta

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 5)) = (sqrt(x^2 - 5))/(5 x) + C

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