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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 15

Nos exercícios 1 a 23, calcular a integral definida:

15. ∫ x 2 3 x 2 - 1 2 x - 1 2 d x

Passo 1

Podemos, aqui, primeiro, multiplicar numerador e denominador por 2 para nos livrarmos das frações do denominador. Teremos:

∫ 2 x 2 2 3 x 2 - 1 2 x - 1 2 d x

2 ∫ x 2 6 x 2 - x - 1 d x

Passo 2

Se fazemos a divisão de polinômios, vamos obter o seguinte resultado, reescrito na forma da integral a seguir:

∫ x 2 6 x 2 - x - 1 d x = 1 6 ∫ x + 1 6 x 2 - x - 1 d x + 1 6 ∫ d x

Como tudo está multiplicado por 2, vamos ter:

2 ∫ x 2 6 x 2 - x - 1 d x = 1 3 ∫ x + 1 6 x 2 - x - 1 d x + 1 3 ∫ d x

Passo 3

Precisamos agora resolver a integral ∫ x + 1 6 x 2 - x - 1 d x . Pra facilitar nossa vida, vamos manipular o numerador, de forma que a derivada do denominador seja equivalente ao numerador. Assim, chegaremos a uma integral de fácil resolução, a do logaritmo natural.

Podemos fazer isso da seguinte forma:

x + 1 = 1 12 12 x - 1 + 13 12

Reescrevemos a integral, aberta em duas integrais separadas para melhor visualização:

∫ x + 1 6 x 2 - x - 1 d x = ∫ 12 x - 1 12 ∙ ( 6 x 2 - x - 1 ) d x + ∫ 1 3 12 ∙ ( 6 x 2 - x - 1 ) d x

= 1 12 ∫ 12 x - 1 6 x 2 - x - 1 d x + 1 3 12 ∫ 1 6 x 2 - x - 1 d x

Como tudo isso está multiplicado por 1 / 3 , teremos então:

= 1 36 ∫ 12 x - 1 6 x 2 - x - 1 d x + 1 3 36 ∫ 1 6 x 2 - x - 1 d x

Passo 4

Agora, resolvemos essas integrais:

1 36 ∫ 12 x - 1 6 x 2 - x - 1 d x

Essa pode ser resolvida por substituição simples, onde u = 6 x 2 - x - 1 e d u = 12 x - 1 d x .

Logo, temos:

∴ ∫ d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ 6 x 2 - x - 1 36

Agora, a outra:

1 3 36 ∫ 1 6 x 2 - x - 1 d x

Resolveremos pelo método das frações parciais. O denominador pode ser facilmente decomposto nos seguintes fatores:

∫ 1 ( 2 x - 1 ) ( 3 x + 1 ) d x

Abrindo esse quociente em dois, vamos ter as frações parciais seguintes:

∫ 2 5 ∙ ( 2 x - 1 ) - 3 5 ∙ ( 3 x + 1 ) d x

2 5 ∫ 1 2 x - 1 d x - 3 5 ∫ 1 3 x + 1 d x

Ambas multiplicadas por 13 / 36 . Temos então:

13 90 ∫ 1 2 x - 1 d x - 13 60 ∫ 1 3 x + 1 d x

Passo 5

Agora, ambas se resolvem facilmente, por substituição simples. Para ∫ 1 2 x - 1 d x , temos:

u = 2 x - 1

d u = 2 ∙ d x

Temos:

1 2 ∫ d u u = ln ⁡ u 2 = ln ⁡ 2 x - 1 2

Multiplicado por 13 / 90 , temos:

13 90 ∫ 1 2 x - 1 d x = 13 180 ln ⁡ 2 x - 1

Para ∫ 1 3 x + 1 d x temos:

u = 3 x + 1

d u = 3 ∙ d x

Temos:

1 3 ∫ d u u = ln ⁡ u 3 = ln ⁡ 3 x + 1 3

Multiplicado por 13 / 6 0 , temos:

∴ 13 6 0 ∫ 1 3 x + 1 d x = 13 180 ln ⁡ 3 x + 1

Passo 6

Por fim, juntamos as respostas que temos, e resultaremos em:

∴ ∫ x 2 3 x 2 - 1 2 x - 1 2 d x = ln ⁡ 6 x 2 - x - 1 36 - 13 ln ⁡ 3 x + 1 180 + 13 ln ⁡ 2 x - 1 180 + x 3 + C

Resposta

∴ ∫ x 2 3 x 2 - 1 2 x - 1 2 d x = ln ⁡ 6 x 2 - x - 1 36 - 13 ln ⁡ 3 x + 1 180 + 13 ln ⁡ 2 x - 1 180 + x 3 + C

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