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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 1

Calcule a integral indefinida.

int tan^2 4 x cos^4 4 x d x

Passo 1

Devemos calcular a integral fornecida. Geralmente não gostamos de misturar tangente com cosseno nas integrais, então vamos usar que

tan 4 x = (s e n 4 x)/(cos 4 x)

para simplificar um pouco as coisas:

I = int tan^2 4 x cos^4 4 x d x = int (s e n^2 4 x)/(cos^2 4 x) * cos^4 4 x d x = int s e n^2 4 x cos^2 4 x d x

Agora vamos fazer a substituição t = 4 x => d t = 4 d x . Assim

I = (1)/(4) int s e n^2 t cos^2 t d t = (1)/(4) int (1 - cos^2 t) cos^2 t d t

Desta forma, podemos separar o problema em duas integrais:

I = (1)/(4) int cos^2 t d t - (1)/(4) int cos^4 t d t = (1)/(4) I_1 - (1)/(4) I_2 ,

onde

I_1 = int cos^2 t d t e I_2 = int cos^4 t d t

Essa dica de separar em integrais é bem importante: se você tentar calcular todas as integrais juntas, sem separar, é bem grande a chance de você se embananar todo e errar alguma coisa. Então sempre seja bem organizado e separe as integrais!

Passo 2

Vamos calcular primeiro I_1 usando que

cos^2 t = (1 + cos 2 t)/(2)

Assim,

I_1 = (1)/(2) int (1 + cos 2 t) d t = (1)/(2) (t + (1)/(2) s e n 2 t) = (1)/(2) t + (1)/(4) s e n 2 t

*Não vou me preocupar com as constantes de integração agora, só no final.

Passo 3

Já para I_2 , vamos primeiro escrever

I_2 = int (cos^2 t)^2 d t ,

e fazer a mesma substituição que fizemos para I_1 :

I_2 = int ((1 + cos 2 t)/(2))^2 d t = (1)/(4) int (1 + 2 cos 2 t + cos^2 2 t) d t

Assim,

I_2 = (1)/(4) t + (1)/(4) s e n 2 t + (1)/(4) int cos^2 2 t d t

Para fazer essa última integral, vamos a mesma fórmula:

cos^2 2 t = (1 + cos 4 t)/(2)

Portanto,

I_2 = (1)/(4) t + (1)/(4) s e n 2 t + (1)/(8) int (1 + cos 4 t) d t = (1)/(4) t + (1)/(4) s e n 2 t + (1)/(8) t + (1)/(32) s e n 4 t

Assim,

I_2 = (3)/(8) t + (1)/(4) s e n 2 t + (1)/(32) s e n 4 t

Passo 4

Agora podemos voltar para I :

I = (1)/(4) I_1 - (1)/(4) I_2 = (1)/(8) t + (1)/(16) s e n 2 t - (3)/(32) t - (1)/(16) s e n 2 t - (1)/(128) s e n 4 t

Portanto,

I = (1)/(32) t - (1)/(128) s e n 4 t

Lembrando que t = 4 x e adicionando a constante de integração:

I = (1)/(8) x - (1)/(128) s e n 16 x + C

Ufa!

Resposta

(1)/(8) x - (1)/(128) s e n 16 x + C

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