Calcule a integral indefinida:

∫ sen 3 ⁡ y 2 cos 2 ⁡ y 2 d y

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de potências de seno e cosseno. Para resolver, nós vamos efetuar primeiro uma manipulação utilizando a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ u = 1 - cos 2 ⁡ u .

∫ sen 3 ⁡ y 2 cos 2 ⁡ y 2 d y = ∫ sen 2 ⁡ y 2 cos 2 ⁡ y 2 sen ⁡ y 2 d y

= ∫ 1 - cos 2 y 2 cos 2 ⁡ y 2 sen ⁡ y 2 d y

Agora temos várias expressões de cos ⁡ y 2 e uma sen ⁡ y 2 d y . Isso indica uma substituição.

Passo 2

Faremos então a substituição:

u = cos ⁡ y 2

E derivando temos:

d u = - 1 2 sen ⁡ y 2 d y   →     - 2 d u = sen ⁡ y 2 d y

Perfeito! Apareceu justamente o que temos na integral.

Passo 3

Agora nós trocamos a variável da integral e resolvemos.

∫ 1 - cos 2 y 2 cos 2 ⁡ y 2 sen ⁡ y 2 d y = ∫ ( 1 - u 2 ) ( u 2 ) ( - 2 d u )

= - 2 ∫ u 2 - u 4 d u

Vamos utilizar agora a integral de um polinômio:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1   + C                     n ≠ - 1

Ficamos então com:

- 2 ∫ u 2 - u 4 d u = - 2 u 2 + 1 2 + 1 - u 4 + 1 4 + 1 + C = - 2 u 3 3 - u 5 5 + C

Passo 4

Agora devemos voltar na variável y . Lembrando que a integral indefinida foi dada na variável y , então devemos dar a resposta nessa variável também. Sendo assim,

∫ sen 3 ⁡ y 2 cos 2 ⁡ y 2 d y = - 2 u 3 3 - u 5 5 + C

Com u = cos ⁡ y 2 , temos:

∫ sen 3 ⁡ y 2 cos 2 ⁡ y 2 d y = - 2 cos 3 ⁡ y 2 3 - cos 5 ⁡ y 2 5 + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

∫ sen 3 ⁡ y 2 cos 2 ⁡ y 2 d y = - 2 cos 3 ⁡ y 2 3 - cos 5 ⁡ y 2 5 + C

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