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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 18

Calcule a integral indefinida:

int sen^3 ((y)/(2)) cos^2 ((y)/(2)) d y

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de potências de seno e cosseno. Para resolver, nós vamos efetuar primeiro uma manipulação utilizando a identidade trigonométrica sen^2 u = 1 - cos^2 u .

int sen^3 ((y)/(2)) cos^2 ((y)/(2)) d y = int sen^2 ((y)/(2)) cos^2 ((y)/(2)) sen ((y)/(2)) d y

= int (1 - cos^2 ((y)/(2))) cos^2 ((y)/(2)) sen ((y)/(2)) d y

Agora temos várias expressões de cos ((y)/(2)) e uma sen ((y)/(2)) d y . Isso indica uma substituição.

Passo 2

Faremos então a substituição:

u = cos ((y)/(2))

E derivando temos:

d u = - (1)/(2) sen ((y)/(2)) d y -> - 2 d u = sen ((y)/(2)) d y

Perfeito! Apareceu justamente o que temos na integral.

Passo 3

Agora nós trocamos a variável da integral e resolvemos.

int (1 - cos^2 ((y)/(2))) cos^2 ((y)/(2)) sen ((y)/(2)) d y = int ( 1 - u^2 ) ( u^2 ) ( - 2 d u )

= - 2 int (u^2 - u^4) d u

Vamos utilizar agora a integral de um polinômio:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1

Ficamos então com:

- 2 int (u^2 - u^4) d u = - 2 ((u^(2 + 1))/(2 + 1) - (u^(4 + 1))/(4 + 1)) + C = - 2 ((u^3)/(3) - (u^5)/(5)) + C

Passo 4

Agora devemos voltar na variável y . Lembrando que a integral indefinida foi dada na variável y , então devemos dar a resposta nessa variável também. Sendo assim,

int sen^3 ((y)/(2)) cos^2 ((y)/(2)) d y = - 2 ((u^3)/(3) - (u^5)/(5)) + C

Com u = cos ((y)/(2)) , temos:

int sen^3 ((y)/(2)) cos^2 ((y)/(2)) d y = - 2 ((cos^3 ((y)/(2)))/(3) - (cos^5 ((y)/(2)))/(5)) + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

int sen^3 ((y)/(2)) cos^2 ((y)/(2)) d y = - 2 ((cos^3 ((y)/(2)))/(3) - (cos^5 ((y)/(2)))/(5)) + C

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