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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 15

Calcule a integral indefinida.

int (sec 3 x + c o s s e c 3 x)^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Vamos precisar lembrar várias integrais trigonométricas...

Mas antes disso, vamos mudar a variável fazendo t = 3 x => d x = d t // 3 :

I = int (sec 3 x + c o s s e c 3 x)^2 d x = (1)/(3) int (sec t + c o s s e c t)^2 d t

Desenvolvendo o quadrado do integrando:

I = (1)/(3) int (sec^2 t + 2 sec t c o s s e c t + c o s s e c^2 t) d t

Passo 2

Sabemos que

(tan t)^' = sec^2 t e (c o t a n t)^' = - c o s s e c^2 t

Assim,

int sec^2 t d t = tan t e int c o s s e c^2 t d t = - c o t a n t

Portanto,

I = (1)/(3) tan t - (1)/(3) c o t a n t + (2)/(3) int sec t c o s s e c t d t

Passo 3

Para calcular a integral que falta, vamos escrever tudo em função de senos e cossenos:

int sec t c o s s e c t d t = int (1)/(cos t) * (1)/(s e n t) d t

Multiplicando em cima e em baixo por cosseno:

int (cos t)/(cos^2 t s e n t) d t = int (cos t)/((1 - s e n^2 t) s e n t) d t

Fazendo u = s e n t , temos que d u = cos t d t :

int (cos t)/((1 - s e n^2 t) s e n t) d t = int (1)/((1 - u^2) u) d u

Essa integral é resolvida por frações parciais:

(1)/((1 - u^2) u) = (- 1)/(u (u - 1) (u + 1)) = (A)/(u) + (B)/(u - 1) + (C)/(u + 1) = (A (u^2 - 1) + B u (u + 1) + C u (u - 1))/(u ( u - 1 ) ( u + 1 ))

Assim, temos que

{[[A + B + C = 0],[B - C = 0],[- A = - 1]])

Assim, A = 1 , B = C => 1 + 2 B = 0 => B = C = - 1 // 2 . Portanto,

int sec t c o s s e c t d t = int ((1)/(u) - (1)/(2) * (1)/(u + 1) - (1)/(2) * (1)/(u - 1)) d u = ln |u| - (1)/(2) ln | u^2 - 1 |

Voltando para variável t :

int sec t c o s s e c t d t = ln |s e n t| - (1)/(2) ln | s e n^2 t - 1 |

Mas |s e n^2 t - 1| = | 1 - s e n^2 t | e (1)/(2) ln |1 - s e n^2 t| = ln sqrt(1 - s e n^2 t) = ln sqrt(cos^2 t) = ln |cos t| . Assim,

int sec t c o s s e c t d t = ln | s e n t | - ln |cos t| = ln |(s e n t)/(cos t)| = ln |tan t|

Passo 4

Finalmente podemos voltar para o problema original:

I = (1)/(3) tan t - (1)/(3) c o t a n t + (2)/(3) int sec t c o s s e c t d t

Logo,

I = (1)/(3) tan t - (1)/(3) c o t a n t + (2)/(3) ln | tan t |

Lembrando que t = 3 x :

I = (1)/(3) tan 3 x - (1)/(3) c o t a n 3 x + (2)/(3) ln |tan t| + C

Resposta

(1)/(3) tan 3 x - (1)/(3) c o t a n 3 x + (2)/(3) ln |tan t| + C

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