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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 38

Calcule a integral indefinida.

∫ 1 cos 2 ⁡ t   1 + t g   t   d t

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente calcular a integral indefinida dada por:

∫ 1 cos 2 ⁡ t   1 + t g   t   d t

E perceba que essa não é uma integral muito simples.

Quando isso acontecer, a ideia principal é tentarmos reescrever a função que está sendo integrada de uma maneira mais simples possível.

E depois ver qual a regra de integração mais adequada.

Vem comigo que vou te mostrar tudinho no passo a passo.

Passo 2

Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ 1 cos 2 ⁡ t   1 + t g   t   d t

E Podemos começar lembrando que

sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

Assim, podemos reescrever a integral como

∫ 1 cos 2 ⁡ t   1 + t g   t   d t = ∫ sec 2 ⁡ t 1 + t g   t 1 / 2   d t

Maravilha.

Agora olhe com mais calma. Ficamos com uma divisão entre duas funções. Nesses casos podemos tentar usar uma Substituição Simples. Pra saber que é isso mesmo que temos que fazer, vemos se ao derivar uma das funções aparecerá algo semelhante a outra função.

Agora, se fizermos uma mudança de variável chamando:

u = 1 + t g   t

Sua derivada será exatamente

d u d t = sec 2 ⁡ t

e nosso problema está resolvido!

OBS: não esquecer da constante de integração!

Passo 3

Assim, a integral se torna:

∫ sec 2 ⁡ t 1 + t g   t 1 2   d t = ∫ 1 u 1 2   d t

Podemos subir essa potência que está no denominador tornando seu expoente negativo. Assim

∫ 1 u 1 2   d t = ∫ u - 1 2   d t

Agora, vamos lembrar da regra de integração de potências. Onde:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Então

∫ u - 1 2   d t = u 1 2 1 2 + C

E lembrando que uma potência com o expoente sendo 1 2 pode ser escrita na forma de raiz quadrada, teremos:

∫ u - 1 2   d t = 2 u + C

Maravilha.

Passo 4

Mas calma que ainda não acabou.

Lembrando que fizemos:

u = 1 + t g   t

Precisamos voltar à variável original. Como:

∫ u - 1 2   d t = 2 u + C

Então:

∫ sec 2 ⁡ t 1 + t g   t 1 / 2   d t = 2   1 + t g   t + C

E prontinho.

Resposta

∫ sec 2 ⁡ t 1 + t g   t 1 / 2   d t = 2   1 + t g   t + C

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