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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 35

Calcule a integral indefinida.

int x cotg^2 (x^2 - 1) cosec^2 (x^2 - 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x^2 - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

Agora vamos fazer a substituição:

int x cotg^2 (x^2 - 1) cosec^2 (x^2 - 1) d x = int (cotg^2 (u) cosec^2 (u))/(2) d u =

= (1)/(2) int cotg^2 (u) cosec^2 (u) d u

Passo 2

Aqui vamos fazer uma substituição:

v = cotg u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = - cosec^2 u d u -> - d v = cosec^2 u d u

Vamos substituir agora:

(1)/(2) int cotg^2 (u) cosec^2 (u) d u = (1)/(2) int - v^2 d v = - (1)/(2) int v^2 d v

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

- (1)/(2) int v^2 d v = - (1)/(2) * (v^(2 + 1))/(2 + 1) + C = - (1)/(2) * (v^3)/(3) + C = - (v^3)/(6) + C

Passo 4

Pronto, vamos agora juntar com a expressão toda:

int x cotg^2 (x^2 - 1) cosec^2 (x^2 - 1) d x = (1)/(2) int cotg^2 (u) cosec^2 (u) d u =

= - (1)/(2) int v^2 d v = - (v^3)/(6) + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int x cotg^2 (x^2 - 1) cosec^2 (x^2 - 1) d x = - (v^3)/(6) + C = - (cotg^3 u)/(6) + C = - (cotg^3 (x^2 - 1))/(6) + C

Resposta

int x cotg^2 (x^2 - 1) cosec^2 (x^2 - 1) d x = - (cotg^3 (x^2 - 1))/(6) + C

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