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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 32

Calcule a integral indefinida.

int (x)/(sqrt(x^2 - 1)) tg^3 sqrt(x^2 - 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = sqrt(x^2 - 1) = (x^2 - 1)^((1)/(2))

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2) (x^2 - 1)^((1)/(2) - 1) (2 x - 0) d x = (x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x

Agora vamos fazer a substituição:

int (x)/(sqrt(x^2 - 1)) tg^3 sqrt(x^2 - 1) d x = int tg^3 u d u

Passo 2

Pronto, vamos fazer algumas manipulações, usando a identidade:

sec^2 x = 1 + tg^2 x -> tg^2 x = sec^2 x - 1

Vamos substituir:

int tg^3 u d u = int tg^2 u tg u d u = int (sec^2 u - 1) tg u d u = int sec^2 u tg u - tg u d u =

= int sec^2 u tg u d u + int - tg u d u

Passo 3

Com essa primeira integral vamos ter que fazer outra mudança de variável:

v = sec u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = sec u tg u d u

Agora substituindo:

int sec^2 u tg u d u = int v d v

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int tg x d x = ln |sec x| + C

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int sec^2 u tg u d u + int - tg u d u = int v d v - int tg u d u = (v^(1 + 1))/(1 + 1) - ln |sec u| + C =

= (v^2)/(2) - ln |sec u| + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x)/(sqrt(x^2 - 1)) tg^3 sqrt(x^2 - 1) d x = (v^2)/(2) - ln |sec u| + C = (sec^2 u)/(2) - ln |sec (sqrt(x^2 - 1))| + C =

= (sec^2 (sqrt(x^2 - 1)))/(2) - ln |sec (sqrt(x^2 - 1))| + C

Resposta

int (x)/(sqrt(x^2 - 1)) tg^3 sqrt(x^2 - 1) d x = (sec^2 (sqrt(x^2 - 1)))/(2) - ln |sec (sqrt(x^2 - 1))| + C

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