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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 42

Calcular a área sob o gráfico de y = sen^6 x , de 0 até pi .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar a curva y = sen^6 x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de 0 até pi , e temos que y = sen^6 x é a função de cima, e y = 0 é a função de baixo, vamos substituir:

A = int_a^b (f_c i m a - f_b a i x o) d x = int_0^(pi) (sen^6 x - 0) d x = int_0^(pi) sen^6 x d x

Para calcular int_0^(pi) sen^6 x d x vamos usar a fórmula de Recorrência, e vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int sen^n u d u = - (1)/(n) sen^(n - 1) u cos u + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) u d u

Assim:

int sen^6 x d x = - (1)/(6) sen^(6 - 1) x cos x + (6 - 1)/(6) int sen^(6 - 2) x d x =

= - (1)/(6) sen^5 x cos x + (5)/(6) int sen^4 x d x

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Recorrência novamente para calcular essa integral que achamos:

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^(4 - 1) x cos x + (4 - 1)/(4) int sen^(4 - 2) x d x =

= - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) int sen^2 x d x

Vamos usar a identidade para calcular a segunda integral que achamos:

sen^2 x = (1)/(2) - (cos (2 x))/(2)

int sen^2 x d x = int (1)/(2) - (cos (2 x))/(2) d x = int (1)/(2) d x - int (cos (2 x))/(2) d x = (1)/(2) x - (sen (2 x))/(4) + C

Agora é só juntar tudo:

int sen^6 x d x = - (1)/(6) sen^5 x cos x + (5)/(6) int sen^4 x d x =

= - (1)/(6) sen^5 x cos x + (5)/(6) (- (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) int sen^2 x d x) =

= - (1)/(6) sen^5 x cos x + (5)/(6) (- (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) ((1)/(2) x - (sen (2 x))/(4))) + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Agora é só juntar tudo para achar a área:

A int_0^(pi) sen^6 x d x = (- (1)/(6) sen^5 x cos x + (5)/(6) (- (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) ((1)/(2) x - (sen (2 x))/(4))))_0^(pi) =

= - (1)/(6) sen^5 pi cos pi + (5)/(6) (- (1)/(4) sen^3 pi cos pi + (3)/(4) ((1)/(2) pi - (sen (2 pi))/(4))) - (- (1)/(6) sen^5 0 cos 0 + (5)/(6) (- (1)/(4) sen^3 0 cos 0 + (3)/(4) ((1)/(2) * 0 - (sen (2 * 0))/(4)))) =

= - (1)/(6) * 0^5 * (- 1) + (5)/(6) (- (1)/(4) * 0 * (- 1) + (3)/(4) ((1)/(2) pi - (- 1)/(4))) - (- (1)/(6) * 0 * 1 + (5)/(6) (- (1)/(4) * 0 * 1 + (3)/(4) ((1)/(2) * 0 - (- 1)/(4)))) =

= (5 pi)/(16) + (5)/(32) - (5)/(32) = (5 pi)/(16)

Resposta

A = (5 pi)/(16)

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