Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Faaaaala, galera!
Nesse exercício, queremos calcular o valor de uma integral indefinida. Relembrando que integral indefinida é quando a gente não tem os limites de integração, então o resultado vai ser uma função de e não um número.
Bem, ela é uma bichinha feia ne é essa integral. E ela não aparece nas Tabelas de Integrais Indefinidas. E agora??? Bem, mas, mesmo que não amapreça, vamos olhar essas tabelas, pra ver se tem algo que nos sirva.

As integrais simples da primeira tabela não parecem ter nada a ver com o nosso caso, porque vão aparecer uma logaritmos e isso já fica bem diferente do que a gente tem. Mas tem um resultado muito interessante na segunda tabela, que é a integral da cossecante ao quadrado:
Ou invertendo, temos a derivada da cotangente:
Repara que no nosso integrando, aparece a cotangente a sua derivada, cossecante ao quadrado. Ou em outras palavras, a cossecante ao quadrado e a sua primitiva, a contangente.
🤔 Então como resolvemos essa questão?
💡 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO!!! 💡
Se você não tinha pensado, lembre-se disso, quando temos dentro do integrando, uma função e a sua derivada, isso é um forte indicativo pra usar o método da substituição.
Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular.
Muito resumidamente, vamos definir uma função e, consequentemente sua derivada , de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela. Mas vamos ver isso na prática!
Passo 2
Como vimos no passo 1:
E queremos fazer essa substituição de forma que nossa função e a sua diferencial apareçam no integrando, então vamos definir:
E portanto:
ou seja:
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
E arrumando, nossa integral ficou assim:
Olha que beleza, que simplicidade!
E ainda vai melhorar, porque mais simples que uma raiz é uma potência:
Passo 3
Agora que reduzimos nossa integral a uma simples potência, vamos relembrar da regra da potência, ou regra do tombo, que nos dá a integral de uma potência:
Nossa integral:
Ou seja, aqui temos , então :
Que molezona que fica depois da substituição né???
Agora é só desfazer e voltar pras nossas variáveis originais. Lembra qual era?
Substituindo no nosso resultado:
E eis nossa resposta!
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.