Calcule a integral indefinida.

∫ cotan ⁡ x cossec 2 ⁡ x   d x .

Passo 1

Faaaaala, galera!

Nesse exercício, queremos calcular o valor de uma integral indefinida. Relembrando que integral indefinida é quando a gente não tem os limites de integração, então o resultado vai ser uma função de x e não um número.

∫ cotan ⁡ x cossec 2 ⁡ x   d x

Bem, ela é uma bichinha feia ne é essa integral. E ela não aparece nas Tabelas de Integrais Indefinidas. E agora??? Bem, mas, mesmo que não amapreça, vamos olhar essas tabelas, pra ver se tem algo que nos sirva.

As integrais simples da primeira tabela não parecem ter nada a ver com o nosso caso, porque vão aparecer uma logaritmos e isso já fica bem diferente do que a gente tem. Mas tem um resultado muito interessante na segunda tabela, que é a integral da cossecante ao quadrado:

∫ cossec 2 ⁡ x   d x - cotan ⁡ x + C

Ou invertendo, temos a derivada da cotangente:

cotan ⁡ x ' =   - cossec 2 ⁡ x

Repara que no nosso integrando, aparece a cotangente a sua derivada, cossecante ao quadrado. Ou em outras palavras, a cossecante ao quadrado e a sua primitiva, a contangente.

🤔 Então como resolvemos essa questão?

💡 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO!!! 💡

Se você não tinha pensado, lembre-se disso, quando temos dentro do integrando, uma função e a sua derivada, isso é um forte indicativo pra usar o método da substituição.

Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular.

Muito resumidamente, vamos definir uma função u = g ( x ) e, consequentemente sua derivada d u / d x , de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela. Mas vamos ver isso na prática!

Passo 2

Como vimos no passo 1:

cotan ⁡ x ' =   - cossec 2 ⁡ x

E queremos fazer essa substituição de forma que nossa função u e a sua diferencial d u apareçam no integrando, então vamos definir:

u = cotan ⁡ x

E portanto:

d u d x = - cossec 2 ⁡ x

ou seja:

d u = - cossec 2 ⁡ x d x

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ cotan ⁡ x cossec 2 ⁡ x   d x = ∫ u ( - d u )

E arrumando, nossa integral ficou assim:

- ∫ u d u

Olha que beleza, que simplicidade!

E ainda vai melhorar, porque mais simples que uma raiz é uma potência:

- ∫ u d u = - ∫ u 1 2 d u

Passo 3

Agora que reduzimos nossa integral a uma simples potência, vamos relembrar da regra da potência, ou regra do tombo, que nos dá a integral de uma potência:

∫ u n d x = u n + 1 n + 1 + C

Nossa integral:

- ∫ u 1 2 d u

Ou seja, aqui temos n = 1 / 2 , então n + 1 = 3 / 2 :

- ∫ u 1 2 d u = - u 3 2 3 2 + C

- ∫ u 1 2 d u = - 2 3 u 3 2 + C

Que molezona que fica depois da substituição né???

Agora é só desfazer e voltar pras nossas variáveis originais. Lembra qual era?

u = cotan ⁡ x

Substituindo no nosso resultado:

- 2 3 u 3 2 + C = - 2 3 cotan ⁡ x 3 2 + C

E eis nossa resposta!

∫ cotan ⁡ x cossec 2 ⁡ x   d x = - 2 cotan ⁡ x 3 2 3 + C 2 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ cotan ⁡ x cossec 2 ⁡ x   d x = - 2 cotan ⁡ x 3 2 3 + C 2 ,

onde C 2 é uma constante qualquer.

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