b) ∫ 0 1 x x 2 + 3 5   d x  

Passo 1

Nessas situações não tem magica, é motivação! E essa é bem comum (substituição de variável)

Vamos pegar x 2 + 3 que é a mais complexa e chamar de u .

u =   x 2 + 3       ( * )

Derivando,

d u =   2 x   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 → u = 0 2   +   3 = 3   x = 1 → u = 1 2   +   3 =   4

Repara que quando derivamos apareceu d u =   2 x d x que é basicamente d u 2 = x   d x .

Nossa integral era:

∫ 0 1 x x 2 + 3 5   d x   = ∫ 0 1 x 2 + 3 5 x   d x  

E vai ficar assim ó:

∫ 3 4 u 5 d u 2 = 1 2 ⋅ ∫ 3 4 u 5   d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora vamos terminar!

1 2 ⋅ ∫ 3 4 u 5   d u   = 1 2 ⋅ u 6 6 ​ 3 4 = 4 6 12 - 3 6 12 = 3367 12

Resposta

3367 12

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