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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7p

p) int_0^((pi)/(3)) s e n (x) cos^2 (x) d x

Passo 1

Olá, galerinha! Essa integral a primeira vista parecer ser bem complicada, né?

Mas vamos tentar fazer uma substituição simples para ver se facilita a nossa vida.

O truque é buscarmos uma relação função e derivada dentro dessa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Então temos a seguinte integral,

int_0^((pi)/(3)) s e n (x) cos^2 (x) d x

Se chamarmos,

u = c o s x

Derivando para encontrar o nosso d u ,

d u = - s e n (x) d x

Substituindo,

int - u^2 d u

Resolvendo essa integral, ficamos com

int - u^2 d u = - (u^3)/(3)

Agora vamos voltar de u para x para aplicar os limites de integração,

int_0^((pi)/(3)) s e n (x) cos^2 (x) d x = - (cos^3 x)/(3) [ [[(pi)/(3)],[0]]

Passo 3

Agora é só terminar!

int_0^((pi)/(3)) s e n (x) cos^2 (x) d x = - (cos^3 x)/(3) [ [[(pi)/(3)],[0]] =

= (- (cos^3 ((pi)/(3)))/(3)) - (- (cos^3 (0))/(3)) = - (1)/(24) + (1)/(3) = (7)/(24)

Resposta

(7)/(24)

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