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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7u

u) int_0^((pi)/(6)) cos^3 (x) d x

Passo 1

Essa é uma questão bem importante, pois a ideia dela serve para diversas outras!

Fica Esperto: Quando você tiver um c o s^n (x) e n for ímpar, a ideia é a seguinte:

u = s e n (x) (*)

cos^2 (x) = 1 - s e n^2 ( x )

Derivando ( * ) ,

d u = c o s (x) d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Vamos com calma pra não confundir!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 -> u = s e n (0) = 0

x = (pi)/(6) -> u = s e n ((pi)/(6)) = (1)/(2)

Repare que quando derivamos apareceu d u = cos (x) d x

Nossa integral era:

int_0^((pi)/(6)) cos^3 (x) d x = int_0^((pi)/(6)) cos^2 (x) cos (x) d x

agora vamos usar a ideia:

int_0^((pi)/(6)) (1 - s e n^2 (x)) cos (x) d x

mudando pra u :

int_0^((1)/(2)) (1 - u^2) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Essa foi difícil, mas já ta acabando!

int_0^((1)/(2)) d u - int_0^((1)/(2)) u^2 d u = u |_0^((1)/(2)) - (u^3)/(3) |_0^((1)/(2)) = ((1)/(2) - 0) - ((1)/(8 * 3) - (0)/(3)) = (1)/(2) - (1)/(24) = (11)/(24)

Resposta

(11)/(24)

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