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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 48

Um bloco de gelo desliza por uma rampa com uma aceleração de 3m/s². A rampa tem 36 m e leva 4 s para o gelo atingir a base. (a) Qual a velocidade inicial do gelo? (b) Qual a velocidade escalar do gelo após percorrer 12 m da rampa? (c) Quanto tempo leva para o gelo percorrer 12 m?

Passo 1

Antes vamos reunir as informações que o exercício nos dá:

a = 3   m / s ²

s = 36   m

t = 4   s

Passo 2

Vamos trabalhar a diferenciação das equações:

a = d v d t

a   d t = d v

∫ a   d t = ∫ d v

v = a   t + C 1

Substituindo v e t pelos seus valores iniciais, temos que C 1 é a v 0 :

v = v 0 + a   t

Passo 3

Precisamos diferenciar mais uma vez para encontrar o espaço.

v = d s d t

v   d t = d s

∫ v   d t = ∫ d s

∫ a t + v 0 d t = ∫ d s

s = a 2 t 2 + v 0 t + C 2

E nesse caso C 2 é o espaço inicial, que é zero, logo

s = v 0 t + a 2 t 2

Passo 4

(a) Agora vamos substituir os valores na equação para encontrar a velocidade inicial:

s = v 0 t + a 2 t 2

v 0 = s - a 2 t 2 t

v 0 = 36 - 3 2 4 2 4

v 0 = 3   m / s

Passo 5

(b) Agora vamos substituir a primeira equação dentro da segunda, pois nossa questão não envolve tempo:

s = a 2 ( v - v 0 a ) 2 + v 0 ( v - v 0 a )

s = ( v 2 - v 0 2 ) 2 a

Que basicamente é a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2   a s - s 0

Passo 6

Substituindo os valores para encontrar a velocidade após 12 m:

v 2 = v 0 2 + 2   a s - s 0

v = 3 2 + 2 ⋅ 3   12

v = 9   m / s

Passo 7

(c) Para encontrar o tempo que leva para percorrer 12m, substituímos os valores na equação:

v = v 0 + a   t

9 - 3 3 = t

t = 2   s

Resposta

(a) v 0 = 3   m / s

(b)   v = 9   m / s

(c)   t = 2   s

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