Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = e x , y = x e x ,   x = 0

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = e x , y = x e x ,   x = 0

Vamos esboçar a região delimitada por essas curvas. Temos duas funções exponenciais positivas e a reta x = 0 .

e x = x e x

x = 1

Podemos calcular a intersecção dessas curvas e os valores de x = 0 :

y = e 0 → y = 1

y = 0 e 0 → y = 0

Então, o nosso gráfico fica assim:

Onde a curva vermelha é y = e x , de azul é y = x e x e a reta roxa é x = 0 . O próximo passo vai ser calcular essa areazinha de verde:

Passo 2

Agora vamos montar a integral! A área que vamos calcular vai ser dada pela subtração entre a curva vermelha e a curva azul e os limites de integração serão, no lado direito o ponto de intersecção entre as curvas e do lado esquerdo x = 0 . Temos então:

A = ∫ a b f x - g x d x

A = ∫ 0 1 e x - x e x d x

Resolvendo essa integral:

A = e x - ( x e x - e x ) 0 1

A = e 1 - 1 e 1 - e 1 - [ e 0 - 0 e 0 - e 0 ]

Então,

A = 2 e - e - ( 2 - 0 )

A = e - 2

Prontinho!

Resposta

A = e - 2

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