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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 11

Calcule a integral indefinida:

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes. Nesse caso eu vou fazer a seguinte separação na integral:

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x = int x e^x * (1)/((x + 1)^2) d x

Agora fica mais nítida a multiplicação de funções e quais substituições podemos tentar usar. Vamos usar a fórmula:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função x e^x . Entenda que integrar x e^x é mais difícil do que integrar (1)/((x + 1)^2) .

[[d,v,=,(1)/((x + 1)^2),d,x,v,=,,?],[u,=,x,e^x,d,u,=,,?]]

Aqui o método LIATE não faz muita diferença e, caso a escolha que você faça seja ruim, é só testar outra possibilidade. Vamos lá.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

v = int (1)/((x + 1)^2) d x = int (x + 1)^(- 2) d x = ((x + 1)^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - (1)/(x + 1) + C

(u) ' = (x e^x) ' = (x) ' e^x + x (e^x) ' = e^x + x e^x = e^x * ( x + 1 ) (Regra do produto)

Sendo assim, temos:

[[d,v,=,(1)/((x + 1)^2),d,x,v,=,int (1)/((x + 1)^2) d x = - (1)/(x + 1) + C],[u,=,x,e^x,d,u,=,(e^x + x e^x),=,e^x,*,(,x,+,1,),d,x]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace x e^x) underset(d v)(ubrace (1)/((x + 1)^2) d x) = underset(u)(ubrace x e^x) underset(v)(ubrace (- (1)/(x + 1))) - int underset(v)(ubrace - (1)/(x + 1)) underset(d u)(ubrace e^x * ( x + 1 ) d x)

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x = - (x e^x)/(x + 1) + int (e^x ( x + 1 ))/(x + 1) d x

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x = - (x e^x)/(x + 1) + int e^x d x = - (x e^x)/(x + 1) + e^x + C

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x = (- x e^x + e^x ( x + 1 ))/(x + 1) + C

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x = (e^x)/(x + 1) + C

Não pode esquecer da constante, hein. A escolhe de v e d v nessa integral não era tão óbvia, mas a ideia é que se uma não funcionar, você pode testar outra sem problemas. É normal.

Resposta

int (x e^x)/((x + 1)^2) d x = (e^x)/(x + 1) + C

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Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ 2 x + 3 e x d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x ² se n ⁡ 2 x d x ²
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x 3 1 + x ² d x ²
Use o Exercício 52 para encontrar int x^4 e^x d x .
a) Use a integração por partes para mostrar que ∫ f ( x ) d x = x f x - ∫ x f ' ( x ) d x b) Se f e g são funções inversas e f ' é contínua, demonstre que ∫ a b f x d x = b f b - a f a - ∫ f a f b g y