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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 60

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

60 .   ∫ 1 1 + x 3 d x

Passo 1

Para resolver a integral temos que realizar a seguinte substituição:

u = x 1 3

d u = 1 3 x 2 3 d x ⇒ d x = 3 x 2 3   d u ⇒ 3 u 2 d u

Assim nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ 1 1 + x 3 d x = ∫ 3 u 2 1 + u d u

= 3 ∫ u 2 1 + u d u

Passo 2

Iremos fazer mais uma substituição para conseguimos resolver a integral.

v = 1 + u ⇒ u = v - 1

d v = d u

Assim temos:

3 ∫ u 2 1 + u d u = 3 ∫ ( v - 1 ) 2 1 + v - 1 d v

= 3 ∫ v - 1 2 v d v = 3 ∫ v 2 - 2 v + 1 v d v

= 3 ∫ v 2 - 2 v + 1 v d v

= 3 ∫ v 2 v 1 2 d v - ∫ 2 v v 1 2 d v + ∫ v - 1 2 d v

= 3 ∫ v 3 2   d v - ∫ 2 v 1 2 d v + ∫ v - 1 2 d v

= 3 2 s 5 2 5 - 4 v 3 2 3 + 2 v 1 2

= 6 s 5 2 5 - 4 v 3 2 + 6 v 1 2

Passo 3

Agora para obter o resultado final temos que voltar as substituições feitas.

v = 1 + u

6 s 5 2 5 - 4 v 3 2 + 6 v 1 2 = 6 5 1 + u 5 2 - 4 ( 1 + u ) 3 2 + 6 ( 1 + u ) 1 2

u = x 1 3

6 5 1 + u 5 2 - 4 ( 1 + u ) 3 2 + 6 ( 1 + u ) 1 2 = 6 5 1 + x 1 3 5 2 - 4 ( 1 + x 1 3 ) 3 2 + 6 ( 1 + x 1 3 ) 1 2

Resposta

∫ 1 1 + x 3 d x = 6 5 1 + x 1 3 5 2 - 4 1 + x 1 3 3 2 + 6 1 + x 1 3 1 2 + c

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