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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 63

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

63 . ∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ x d x  

Passo 1

Se a gente simplificar um pouco nossa integral ficaremos com ela na forma:

∫ 0 π 2 ( 1 + cos ⁡ x ) d x

Através da identidade trigonométrica sabemos que:

cos ⁡ x + 1 = 2 cos 2 ⁡ x 2  

Podemos então usar isso na nossa integral e fica com:

∫ 0 π 2 ⋅ 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ x 2 d x

Passo 2

Fazendo uma substituição simples:

u = x 2 ⇒ d u = 1 2 d x

Como u = x 2 , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

u = x 2 quando x = 0 , u = 0 2

u = x 2 quando x = π , u = π 2

Então:

∫ 0 π 2 2 cos 2 ⁡ u 2 d u =   4 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ u d u

4 ∫ 0 π 2 cos ⁡ u d u = 4 s e n   u | 0 π 2  

= 4 s e n   π 2 - 4 s e n 0 = 4

Resposta

∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ x d x = 4

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