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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 9

Calcule a integral indefinida:

int x tan^(- 1) x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e inversa trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a inversa trigonométrica. Teremos então:

[[d,v,=,x,v,=,,?],[u,=,tan^(- 1) d x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,x,d,x,v,=,int x d x =,(x^2)/(2),+,C],[u,=,tan^(- 1) x,d,u,=,(1)/(1 + x^2),d,x]]

Devemos lembrar que (tan^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2) .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace tan^(- 1) x) underset(d v)(ubrace * x d x) = underset(u)(ubrace tan^(- 1) x) underset(v)(ubrace ((x^2)/(2))) - int underset(v)(ubrace (x^2)/(2)) underset(d u)(ubrace (1)/(1 + x^2) d x)

int tan^(- 1) x * x d x = (x^2 tan^(- 1) x)/(2) - (1)/(2) int (x^2)/(1 + x^2) d x

Agora precisamos resolver essa segunda integral que apareceu.

Passo 4

Para resolver int (x^2)/(1 + x^2) d x , faremos o seguinte:

int (x^2)/(1 + x^2) d x = int (1 + x^2 - 1)/(1 + x^2) d x = int (1 + x^2)/(1 + x^2) d x + int (- 1)/(1 + x^2) d x

Perceba que eu somei 1 e tirei 1 que é o mesmo que somar 0 no numerador, daí conseguimos separar em duas integrais conhecidas.

int (x^2)/(1 + x^2) d x = int 1 d x - int (1)/(1 + x^2) d x

int (x^2)/(1 + x^2) d x = x - tan^(- 1) x + C

Lembre que (tan^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2) . É a primitiva que precisávamos.

Passo 5

Agora vamos substituir tudo na integral inicial:

int tan^(- 1) x * x d x = (x^2 tan^(- 1) x)/(2) - (1)/(2) int (x^2)/(1 + x^2) d x = (x^2 tan^(- 1) x)/(2) - (1)/(2) (x - tan^(- 1) x) + C

int tan^(- 1) x * x d x = (x^2 tan^(- 1) x - x + tan^(- 1) x)/(2) + C

int x tan^(- 1) x d x = (( x^2 + 1 ) tan^(- 1) (x) - x)/(2) + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

int x tan^(- 1) x d x = (( x^2 + 1 ) tan^(- 1) (x) - x)/(2) + C

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