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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 25

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

25.

∫ t 1 - t 8 d t

Passo 1

Galerinha, tudo beleza?

A questão quer que a gente calcule a integral como uma série de potências e depois descobrir qual o raio de convergência.

Bora primeiro achar uma série de potências pra essa integral?

Vamos começar reescrevendo ela de um outro jeito:

∫ t 1 - t 8 d t

∫ ∑ n = 0 ∞ t t 8 n d t

∫ ∑ n = 0 ∞ t 8 n + 1 d t

Logo acima, a série de potências representa a soma de uma série geométrica de primeiro termo t e razão t 8 , beleza?

Passo 2

Agora a gente integra a série:

∫ ∑ n = 0 ∞ t 8 n + 1 d t

∑ n = 0 ∞ t 8 n + 2 8 n + 2  

Então,

∫ t 1 - t 8 d t = ∑ n = 0 ∞ 1 8 n + 2 t 8 n + 2

Passo 3

Como a gente usou a série geométrica com razão t 8 , pra haver convergência temos que ter:

t 8 < 1

t < 1

Então, R = 1 , beleza?

Resposta

∫ t 1 - t 8 d t = ∑ n = 0 ∞ 1 8 n + 2 t 8 n + 2

R = 1

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