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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 18

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

18.

f x = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) ,                     a = 1 ,                     n = 3 ,                     0,5 ≤ x ≤ 1,5

Passo 1

E aí? Tudo belezinha?

Olha só, a questão nos deu uma função f x = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) e quer, no item (a), uma aproximação dela por um polinômio de Taylor, com a = 1 e n = 3 (iremos fazer três integrais, show?).

A partir disso, no item (b) pedem pra gente usar uma desigualdade de Taylor e estimar a precisão da aproximação da função f com o polinômio de Taylor no intervalo 0,5 ≤ x ≤ 1,5 .

E no item (c), verificar o resultado de (b), traçando R n x , que é básicamente f x - T n ( x ) .

Bora meter a cara nessa questão e fazer a mágica acontecer.

Passo 2

Primeiramente, no item (a), para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Para n = 3 precisaremos até a terceira derivada, então derivando e substituindo no centro x = 1

f = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) ⇒ f 1 = ln ⁡ 3

f ' = 2 1 + 2 x ⇒ f ' 1 = 2 3

f ' ' = - 4 1 + 2 x 2 ⇒ f ' ' 1 = - 4 9

f ' ' ' x = 16 1 + 2 x 3 ⇒ f ' ' ' 1 = 16 27

Então nosso polinômio é

T 3 = ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 4 9 ⋅ 2 ! x - 1 2 + 16 27 ⋅ 3 ! x - 1 3

T 3 = ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

Passo 3

No nosso item (b), para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quarta derivada

f ' ' ' ' x = - 96 1 + 2 x 4

Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 0,5 ≤ x ≤ 1,5 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' ' x está crescente, porém é negativa, então em módulo para pegarmos o maior valor da função, precisamos do menor valor do intervalo ( 0,5 ) e substituirmos, podemos dizer que

f ' ' ' ' x ≤ f ' ' ' ' 0,5 ,                     x ∈ [ 0.5,1.5 ]

Então podemos usar

M = f ' ' ' ' 0,5 = - 96 1 + 2 ( 0,5 ) 4 = 96 2 4 = 6

Passo 4

Temos então que

R 3 x ≤ 6 4 ! x - 1 4

Agora precisamos do valor de x - 1 4 , se manipularmos o intervalo 0,5 ≤ x ≤ 1,5 subtraindo 1 em todas as partes da igualdade

- 0,5 ≤ x - 1 ≤ 0,5

Podemos colocar em módulo

x - 1 ≤ 0,5

Elevando a quarta potencia

x - 1 4 ≤ 0,0625

Logo

R 3 x ≤ 6 4 ! 0,0625

R 3 x ≤ 0,015625 = 1,6 × 10 - 2

Passo 5

Vamos começar, no nosso item (c), traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 3 = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) - T 3

R 3 = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) - ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

R 3 = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) - ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

No plano

Pelo gráfico podemos ver que que o erro é menor que 5 × 10 - 3 .

Resposta

  1. T 3 = ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

  2. R 3 x ≤ 1,6 × 10 - 2

  3. y = | R 3 ( x ) |

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Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) para a função f ao redor de a . Esboce o gráfico de f e de T 3 no mesmo gráfico.3. f x = e x ,a = 1
Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) para a função f ao redor de a . Esboce o gráfico de f e de T 3 no mesmo gráfico.4. f x = sen ⁡ x ,a = π 6
(a) Aproxime f por uma série polinomial de Taylor, com grau n no ponto a . (b) Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x = T n ( x ) quando x está no intervalo dado. (c)