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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 52

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (t) = (1)/(2) sec^2 t e g (t) = - 4 sen^2 t . O intervalo de integração é [- pi // 3 , pi // 3] . Como a função f (t) >= g ( t ) para todo t pertencente ao intervalo de integração, a área da região em cinza é dada por:

A = int_(- pi // 3)^(pi // 3) (1)/(2) sec^2 t - (- 4 sen^2 t) d t

Como sen^2 x = (1 - cos (2 x))/(2)

A = int_(- pi // 3)^(pi // 3) (1)/(2) sec^2 t + 4 ((1)/(2) + (cos (2 t))/(2)) d t

Passo 3

Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função f (t) e g ( t ) em torno do eixo Y ? Por causa desta simetria, temos a seguinte relação:

int_(- pi // 3)^(pi // 3) (1)/(2) sec^2 t + 2 - 2 cos 2 t d t = 2 int_0^(pi // 3) (1)/(2) sec^2 t + 2 - 2 cos 2 t d t

Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:

A = 2 int_0^(pi // 3) (1)/(2) sec^2 t + 2 - 2 cos 2 t d t

Passo 4

Agora, chegamos a uma integral que conseguimos calcular facilmente. Portanto, temos:

A = 2 int_0^(pi // 3) (1)/(2) sec^2 t + 2 - 2 cos 2 t d t = 2 ([(1)/(2) tg t + 2 t - (2 sen ( 2 t ))/(2)]|_0^(pi // 3)

A = 2 ((1)/(2) tg (pi)/(3) + (2 pi)/(3) - sen ((2 pi)/(3))) - 2 ((1)/(2) tg 0 + 0 - sen 0)

A = 2 ((1)/(2) * sqrt(3) + (2 pi)/(3) - (sqrt(3))/(2)) - 0

A = (4 pi)/(3)

Resposta

A = (4 pi)/(3)

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