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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 55

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Observe que a região é limitada a esquerda por uma curva g ( y ) e a direita por outra curva f ( y ) , além disto, é limitada inferiormente por y = a e superiormente por y = b . Desta forma, podemos expressar a área desta região a partir da seguinte integral:

A = int_a^b [f (y) - g (y)] d y

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. As funções f e g são f (y) = 12 y^2 - 12 y^3 e g (y) = 2 y^2 - 2 y . Já o intervalo é [0,1] , isto é, é limitada inferiormente por y = 0 e superiormente por y = 1 . Desta forma, a área da região em cinza pode ser expressa pela seguinte integral:

A = int_0^1 ( 12 y^2 - 12 y^3 ) - ( 2 y^2 - 2 y ) d y

A = int_0^1 - 12 y^3 + 10 y^2 + 2 y d y

Passo 3

Vamos resolver agora a nossa integral.

A = int_0^1 - 12 y^3 + 10 y^2 + 2 y d y = ([- 3 y^4 + (10 y^3)/(3) + y^2]|_0^1

A = (- 3 + (10)/(3) + 1) - (- 0 + 0 + 0)

A = (4)/(3)

Resposta

A = (4)/(3)

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