Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 14

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = x y z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

A questão quer saber se o campo vetorial:

F x , y , z = x y z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

É conservativo ou não. Um campo vetorial conservativo satisfaz:

r o t   F = 0

E calculamos o rotacional do campo F pela equação:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Onde P , Q , R são as componentes da nossa função campo:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

Passo 2

Olhando a forma geral do campo:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

E comparando com o campo que temos:

F x , y , z = x y z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Vemos que:

P = x y z 2

Q = x 2 y z 2

R = x 2 y 2 z

Substituindo na nossa equação:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Ficamos com:

= ∂ ∂ y x 2 y 2 z - ∂ ∂ z x 2 y z 2 i - ∂ ∂ x x 2 y 2 z - ∂ ∂ z x y z 2 j + ∂ ∂ x x 2 y z 2 - ∂ ∂ y x y z 2 k

Resolvendo as derivadas parciais:

= 2 x 2 y z - 2 x 2 y z i - 2 x y 2 z - 2 x y z j + 2 x y z 2 - x z 2 k

Nossa primeira componente tem dois termos opostos, então será zerada! Para as demais componentes, teremos:

r o t   F = 0 i + 2 x y z - 2 x y 2 z j + 2 x y z 2 - x z 2 k ≠ 0

Como r o t   F ≠ 0 então F não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma função f tal que F = ∇ f e b) use a parte a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y = x 3 y 4 i + x 4 y 3 j C : r t = t i + 1 + t 3 j ,0 ≤ t ≤ 1
A partir do gráfico de F você diria que ele é conservativo? Verifique se seu palpite estava correto. F x , y , = 2 x y + sen ⁡ y i + x 2 + x cos ⁡ yj
A partir do gráfico de F você diria que ele é conservativo? Verifique se seu palpite estava correto. F x , y , = x - 2 y i + x - 2j 1 + x 2 + y 2
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial de força F movendo um objeto um objeto de P a Q. F x , y = y 2 x 2 i - 2 y x j ;P 1,1 ,Q ( 4 , - 2 )
Determine uma função f tal que F = ∇ f e b) use a parte a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y = y i + x + 2 y j , C é a semicircunferência superior que começa em (0,1) e termina e