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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 6

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y , z = e x y sen ⁡ z j ^ + y tg - 1 ⁡ x / z k ^

Passo 1

Faala, galera!

Essa questão pede pra gente o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Pra um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , calculamos o rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

E o divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Nosso campo é:

F → x , y , z = e x y sen ⁡ z j ^ + y tg - 1 ⁡ x / z k ^

Então:

P = 0

Q = e x y sen ⁡ z

R = y tg - 1 ⁡ x z

Então vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais, e substituir na fórmula do rotacional. Depois fazemos o mesmo pro divergente.

Passo 2

(a)

Começando com o rotacional.

A primeira coordenada:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , com x , z constantes:

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y y tg - 1 ⁡ x z = tg - 1 ⁡ x z

Derivando Q em função de z , com x , y constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ e x y sen ⁡ z ∂ z = e x y co s ⁡ z

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = tg - 1 ⁡ x z - e x y cos ⁡ z

Passo 3

Pra segunda coordenada:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Como P = 0 :

∂ P ∂ z = 0

Derivando R em função de x , com y , z constantes:

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x y tg - 1 ⁡ x z =

Vamos usar a regra da cadeia:

= y ∙ ∂ tg - 1 ⁡ x / z ∂ ( x / z ) ∙ ∂ x / z ∂ x =

= y ∙ 1 1 + x z 2 ∙ 1 z = y z + x 2 z =

Multiplicando numerador e denominador por z , temos:

∂ R ∂ x = y z x 2 + z 2

Então:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = - y z x 2 + z 2

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de y , com x , z constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ e x y sen ⁡ z ∂ x = y e x y sen ⁡ z

E como P = 0 :

∂ P ∂ y = 0

Daí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = y e x y sen ⁡ z

Passo 5

Voltando pro rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = tg - 1 ⁡ x z - e x y cos ⁡ z i ^ - y z x 2 + z 2   j ^ + y e x y sen ⁡ z k ^

Passo 6

(b)

Agora vamos para o divergente.

Primeiro, como P = 0 :

∂ P ∂ x = 0

Derivando Q em função de x , considerando y , z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ e x y sen ⁡ z ∂ y = x e x y sen ⁡ z

Derivando R em função de y , com x e z constantes:

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z y tg - 1 ⁡ x z =

Vamos usar a regra da cadeia:

= y ∙ ∂ tg - 1 ⁡ x / z ∂ ( x / z ) ∙ ∂ x / z ∂ z =

= y ∙ 1 1 + x z 2 ∙ - x z 2 =

Juntando tudo:

∂ R ∂ z = - x y x 2 + z 2

Passo 7

Voltando pra fórmula:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= 0 + x e x y sen ⁡ z - x y x 2 + z 2

E achamos o divergente:

div ⁡ F → =   x e x y sen ⁡ z - x y x 2 + z 2

Resposta

rot ⁡ F → = tg - 1 ⁡ x z - e x y cos ⁡ z i ^ - y z x 2 + z 2   j ^ + y e x y sen ⁡ z k ^

div ⁡ F → =   x e x y sen ⁡ z - x y x 2 + z 2

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