Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 16a
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
Passo 1
E ai minha turma, tudo bem?
Nesse exercício vamos focar em resolver o item (a).
Logo, o item (a) pede para determinarmos uma função de tal forma que o gradiente dessa função é igual a uma função . Essa relação:
Onde é:
Agora, eu quero que você tenha muita calma pois vai envolver bastante manipulação das equações.
Vamos lembrar que a gente pode reescrever o termo , da seguinte forma:
Da igualdade acima, concluímos que:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para , e para isso devemos integrar cada lado da igualdade acima.
Mas lembre-se que é uma integral indefinida, logo deve aparecer uma constante em cada integral.
Para ficar mais claro vamos fazer uma como exemplo.
Integrar em relação a . Assim, temos
Integrando, isso nos dá:
Repare que apareceu um termo que é a nossa constante. Pois se derivarmos em relação , vamos voltar a nossa situação inicial.
O processo é esse, vamos integrando e derivando em relação as variáveis , e para encontrar uma expressão de tal forma, que se aplicarmos as derivadas parciais encontramos novamente a relação:
Eu sei que é bastante trabalhoso esse processo, por isso faça com muita calma essa parte.
Vamos nessa então!!!
Passo 2
Já determinamos no passo :
Agora, devemos derivar a função em relação a . Vamos ter:
A gente já conhece uma expressão lá do passo que é igual a , que é:
Assim, comparando com o valor encontrada acima, temos:
Se integrarmos em relação a , temos:
Passo 3
Reescrevendo a equação para a função , temos:
Vamos derivá-la em relação a agora.
Como temos uma expressão para , que é:
Vamos comparar as duas. Ficamos com:
Integrando a função em relação a , temos:
Por fim, reescrevendo a função :
Resposta
(a)