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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 25

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Faaala turma, tudo bem? Bora gabaritar mais uma!

Precisamos determinar o volume de um sólido em coordenadas polares. Sendo que esse solido, está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Beleza até ai! E agora, como resolvo isso?

Vamos lembrar que o volume pode ser representado pela seguinte integral:

V = ∬ D z d A

Importante lembrar que temos duas regiões escritas em função de z , logo ao montar a integral ter cuidado de substituir o z pelo: sólido que está a cima menos o sólido que está abaixo.

Também precisamos definir os limites da região D para montar a integral iterada, que vai ficar com essa cara:

V = ∫ a b ∫ c d ( z e s f e r a - z c o n e ) d A

Agora vamos escrever tudo em função de coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ ;                 y = r sen ⁡ θ

d A = r d r d θ

Sabemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , já para o intervalo do raio você vai ter que substituir a equação do cone dentro da equação da esfera tudo em coordenadas polares.

Agora vocês vão tirar de letra essa ein? Vamos colocar mão na massa então!

Passo 2

Vamos escrever em coordenadas polares, e determinar qual o raio.

Temos que a equação da esfera é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Logo, substituindo temos que:

( r c o s   θ ) 2 + ( r s e n   θ ) 2 + z 2 = 1

Simplificando e isolando o z , temos que z é:

z = 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sen 2 ⁡ θ

z = 1 - r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ )

Utilizamos da relação trigonométrica para simplificar: cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 . Vamos ter:

z = 1 - r 2

Passo 3

Já para o cone z = x 2 + y 2 em coordenadas polares temos:

z = ( r c o s   θ ) 2 + ( r s e n   θ ) 2

z = r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ )

Novamente utilizando a relação trigonométrica acima, temos:

z = r 2

z = r

Agora, vamos igualar a equação da esfera com a equação do cone e manipular para obter o raio:

z e s f e r a = z c o n e

1 - r 2 = r

1 - r 2 = r 2

1 = 2 r 2

r 2 = 1 2

Logo o raio é:

r = 1 2

Simplificando, multiplicando por 2 no numerador e denominador:

r = 2 2

Então, 0 ≤ r ≤ 2 2 .

Passo 4

Agora vamos montar nossa integral iterada de volume.

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

V = ∫ a b ∫ c d ( z e s f e r a - z c o n e ) d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 2 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

d A = r d r d θ

As equações de z são:

z e s f e r a = 1 - r 2

z c o n e = r

Assim, substituindo na integral acima vamos ter:

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 1 - r 2 - r ⋅ r d r d θ

Passo 5

Agora bora resolver a integral dupla.

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 1 - r 2 - r ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r d θ

Lembra que começamos resolvendo a integral de dentro. Logo temos:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r d θ

Vamos separar em duas integrais o termo de r para facilitar.

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 1 - r 2   d r - ∫ 0 2 2 r 2 d r d θ

Observe que teremos que aplicar uma substituição para resolver a primeira integral. Assim:

u = 1 - r 2

d u = - 2 r ∴   - d u 2 = r

Assim, integramos e voltamos para a variável r para aplicarmos os limites de integração.

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 u   - d u 2 - ∫ 0 2 2 r 2 d r d θ

Integrando, temos:

V = ∫ 0 2 π - 1 2 1 - r 2 3 2 3 2 - r 3 3 0 2 2 d θ

Aplicando os limites, vamos ter:

V = ∫ 0 2 π - 1 3 1 - 2 2 2 3 / 2 + 2 2 3 - 1 d θ

V = ∫ 0 2 π 1 6 2 - 2 d θ

Passo 6

Por fim, vamos resolver a integral simples em d θ :

V = ∫ 0 2 π 1 6 2 - 2 d θ

Integrando, temos que:

V = 1 6 2 - 2 θ 0 2 π

Aplicando os limites,

V = 1 6 2 - 2 2 π

Portanto, temos que o volume vale:

V = π 3 2 - 2

Resposta

V = π 3 2 - 2

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Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}
Calcule a integral duplaint int_D (d x d y)/((p^2 + x^2 + y^2)^p) Onde: D = {(x , y) in R^2| x^2 + y^2 = a^2 } .
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Calcule as integrais sobre B 1 e B 2 , e use b ) para mostrar que I a tende para π quando a tende para + ∞ . Isto prova que ∫ 0 + ∞ e - u 2 d u = π 2 .