5) Calcule ∮ γ F   d γ   onde F x , y = 4 x 3 y 3 i + 3 x 4 y 2 + 5 x j   e γ é a fronteira do quadradro de vértices (-1,0), (0,-1), (1,0),(0,1)

Passo 1

Queremos

∮ γ F   d γ  

Logo podemos usar o teorema de green, afinal

∮ γ F   d γ   =   ∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Uma ideia para resolvermos essa integral é usar o lado direito desse teorema

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Passo 2

Sabendo que

P =   4 x 3 y 3  

Q = 3 x 4 y 2 + 5 x  

Assim podemos calcular as derivadas parciais

∂ Q ∂ x =   ∂ ∂ x 3 x 4 y 2 + 5 x → 12 x 3 y 2 + 5

∂ P ∂ y =   ∂ ∂ y   4 x 3 y 3 → 12 x 3 y 2

Passo 3

Vamos unir todos esses pequenos cálculos na nossa integração

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

∬ K 12 x 3 y 2 + 5 -   12 x 3 y 2   d x d y

∬ K 5   d x d y

Ou seja 5 vezes a área da nossa região γ , que é a fronteira do quadradro de vértices (-1,0), (0,-1), (1,0),(0,1). OU seja nossa região é essa abaixo

Por Pitágoras podemos descobrir que cada lado desse quadrado tem tamanho

L =   2

Assim nossa integral pode se resumir a

∬ K 5   d x d y → 5 ⋅ 2 2

= 10

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ γ F   d γ   = 10

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