Determine o campo do vetor gradiente ∇ f de f e o desenhe.

f x , y = x y - 2 x

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão, nós temos uma função de duas variáveis:

f x , y = x y - 2 x

E precisamos calcular e desenhar o campo vetorial gradiente.

O gradiente de uma função é calculado assim:

∇ f x , y = f x   i ^ + f y   j ^

Então, vamos começar calculando as derivadas parciais pra definir o campo gradiente.

Depois, vamos estudar como que esse campo muda conforme mudamos o ponto x , y .

A gente vai precisar olhar pra norma desses vetores:

a , b = a 2 + b 2

Assim conseguimos desenhar alguns vetores pra representar o campo.

Passo 2

Bora calcular as derivadas parciais!

Primeiro em função de x , considerando y como constante:

f x = ∂ x y - 2 x ∂ x = y - 2

Agora derivando em função de y , com x constante:

f y = ∂ x y - 2 x ∂ y = x

Então, nosso campo é:

∇ f x , y = y - 2   i ^ + x   j ^

Passo 3

Agora vamos analisar esse campo.

A primeira componente é y - 2 , então:

  • Se y > 2 ⇒ y - 2 > 0 , o vetor aponta pra direita (sentido positivo de x )
  • Se y < 2 ⇒ y - 2 < 0 , o vetor aponta pra esquerda (sentido negativo de x )
  • Se y = 2 ⇒ y - 2 = 0 , o vetor é paralelo ao eixo y
  • Já a segunda componente é x , então:

  • Se x > 0 , o vetor aponta pra cima (sentido positivo de y )
  • Se x < 0 , o vetor aponta pra baixo (sentido negativo de y )
  • Se x = 0 , o vetor é paralelo ao eixo x

No ponto 0,2 as duas coordenadas são 0 , é o campo é nulo (não tem vetor)

Resumindo, teremos alguma coisa assim:

Passo 4

Por último, vamos olhar pro tamanho desses vetores.

A norma de ∇ f fica assim:

∇ f = y - 2 2 + x 2

Se elevarmos ao quadrado dos dois lados:

x 2 + y - 2 2 = ∇ f 2

Isso é a fórmula de uma circunferência centrada em 0,2 .

Ou seja, pontos que têm a mesma distância até 0,2 terão vetores mesmo tamanho, e quanto mais afastados desse centro, maior serão os vetores.

Com essas informações, desenhamos alguns vetores e temos o diagrama do campo:

Resposta

∇ f x , y = y - 2   i ^ + x   j ^

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