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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 4a

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = c o s   x z   j - s e n   x y   k

Passo 1

Oiiie, primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional de um campo, Ele pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função.

r o t   F = ∇ × F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   P   Q   R  

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Beleza, agora vamos para a nossa questão.O enunciado nos pede para calcular o rotacional do seguinte campo:

F x , y , z = c o s   x z   j - s e n   x y   k

O nosso primeiro passo vai ser identificar quem são P , Q   e   R Lembrando que:

F = P i + Q j + R k

Depois é só fazer as derivadas parciais igual diz a fórmula do rotacional e por somá-las.

Vamos que eu vou te ajudar!!!

Passo 2

Vamos começar achando : F = P i + Q j + R k .

Sabemos que a nossa função é:

F x , y , z = c o s   x z   j - s e n   x y   k

Logo:

P = 0

Q = c o s   x z  

R = - s e n   x y  

Belezaaaaa!

Passo 3

Lembra qual o próximo passo???

Vamos achar as derivadas parciais de acordo com a fórmula do rotacional:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Começando por:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i

Assim:

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y ( - s e n   x y )

∂ ∂ y ( - s e n   x y ) = - x   c o s   x y  

e

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z ( c o s   x z )

∂ ∂ z ( c o s   x z ) = - x   s e n   x z

Substituindo na fórmula do rotacional :

r o t   F = - x   c o s   x y - ( - x   s e n   x z ) i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Passo 4

Agora vamos encontrar:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j

Assim:

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z ( 0 )

∂ ∂ z ( 0 ) = 0

e

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x ( - s e n   x y )

∂ ∂ x ( - s e n   x y ) = - y   c o s   x y

Substituindo em:

r o t   F = - x   c o s   x y + x   s e n   x z i + 0 + y   c o s   x y j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Passo 5

Agora vamos para o último passo que é encontrar

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( c o s   x z )

∂ ∂ x ( c o s   x z ) = - z   s e n   x y

e

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( 0 )

∂ ∂ y ( 0 ) = 0

Substituindo em:

r o t   F = - x   c o s   x y - x   s e n   x z i + 0 + y   c o s   x y j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Logo:

r o t   F = - x   c o s   x y - x   s e n   x z i + 0 + y   c o s   x y j + - z   s e n   x y - 0 k

Logo, o rotacional é:

r o t   F = - x   c o s   x y + x   s e n   x z i + y   c o s   x y j + - z   s e n   x y k

Resposta

r o t   F = - x   c o s   x y + x   s e n   x z i + y   c o s   x y j + - z   s e n   x y k

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