15. Dado o campo vetorial f → = (y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2)) , mostrar que ∮_C f(→) ⋅ dr(→) = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.

Passo 1

Vamos considerar C uma curva fechada simples qualquer. E Seja R a região envolvida por C.

O teorema de green nos dá

∮ C f → ⋅ d r → = ∮ C f 1 d x + f 2 d y = ∬ R ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y d A

Como

∂ f 2 ∂ x = ∂ f 1 ∂ y

Então

∮ C f → ⋅ d r → = 0

Resposta

∮ C f → ⋅ d r → = 0

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